Berechnen sie den schnittpunkt zweier geraden

Wenn sich gerade Linien in einem zweidimensionalen Graphen schneiden, geschieht dies nur an einem Punkt, angegeben durch die Koordinaten x und y. Da beide Geraden durch diesen Punkt verlaufen, wissen Sie, dass die x- und y-Koordinaten beide Gleichungen erfüllen müssen. Mit ein paar zusätzlichen Techniken können Sie die Schnittpunkte von Parabeln und anderen quadratischen Kurven mit derselben Logik finden.

Schritte

Methode 1 von 2: Bestimmung des Schnittpunkts zwischen zwei Geraden

Beispiel: Wir wissen das $\mathrm{ja}=x+3$ und $\mathrm{ja}=12-2x$, und somit $x+3=12-2x$.

Beispiel:$x+3=12-2x$

Telefon $2x$ auf jeder Seite:

$3x+3=12$

$3x=9$

$x=3$.

Beispiel:$x=3$ und $\mathrm{ja}=x+3$

$\mathrm{ja}=3+3$

$\mathrm{ja}=6$

Beispiel:$x=3$ und $\mathrm{ja}=12-2x$

$\mathrm{ja}=12-2\left(3\right)$

$\mathrm{ja}=12-6$

$\mathrm{ja}=6$

Beispiel:$x=3$ und $\mathrm{ja}=6$

Wenn die beiden Geraden parallel sind, schneiden sie sich nicht . Die x-Terme können eliminiert werden und Ihre Gleichung kann zu einer ungültigen Gleichung vereinfacht werden (z. B $0=1$). Hinweis hier`die Linien schneiden sich nicht oder keine gültige Lösung` wenn du antwortest.

Wenn die beiden Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben, dann `schneiden` sie sich überall. Sie können die x-Terme eliminieren und Ihre Gleichung zu einer gültigen Gleichung vereinfachen (z. B $3=3$). aufschreiben `die beiden Zeilen sind gleich` als antwort.

Methode 2 von 2: Probleme mit quadratischen Gleichungen

1. Lernen Sie quadratische Gleichungen zu erkennen. In einer quadratischen Gleichung gibt es eine oder mehrere Variablen in quadratischer Form ($x^{}$ oder ${\mathrm{ja}}^{}$), und es gibt keine höheren Mächte. Die durch Gleichungen dargestellten Geraden sind gekrümmt und können daher eine Gerade in 0, 1 oder 2 Punkten schneiden. In diesem Teil erfahren Sie, wie Sie die Schnittpunkte eines solchen Problems finden.

• Berechnen Sie Gleichungen in Klammern, um zu sehen, ob sie quadratisch sind. Zum Beispiel, $\mathrm{ja}=(x+3)\left(x\right)$ ist quadratisch, weil Sie es außerhalb von Klammern setzen können, wenn$\mathrm{ja}=x^{}$
• Gleichungen eines Kreises oder einer Ellipse haben beide ein $x^{}$ wie ein ${\mathrm{ja}}^{}$ Begriff. Wenn Ihnen diese Sonderfälle schwer fallen, lesen Sie unter Tipps am Ende dieses Artikels weiter.

Beispiel: Finde den Schnittpunkt von $x^{}$ und $\mathrm{ja}=x+7$.

$\mathrm{ja}=x^{}$ und $\mathrm{ja}=x+7$.

Beispiel:$\mathrm{ja}=x^{}$ und $\mathrm{ja}=x+7$

$x^{}$

Beispiel:$x^{}$

$x^{}$

$x^{}$

Beispiel:$x^{}$

Der Zweck der Faktorisierung besteht darin, die beiden Faktoren zu bestimmen, die miteinander multipliziert werden, um diese Gleichung zu erstellen. Ab dem ersten Semester wissen wir das $x^{}$ kann in x geteilt werden, und x. Schreiben Sie (x )(x ) = 0, um dies zu zeigen.

Der letzte Term ist -6. Schreiben Sie jedes Paar von Faktoren auf, das sich multipliziert hat, um -6 als Produkt zu ergeben: $-6*1$, $-3*2$, $-2*3$, und $-1*6$.

Der mittlere Term ist x (was Sie als 1x schreiben können). Addiere jedes Paar von Faktoren zusammen, um 1 als Antwort zu erhalten. Das richtige Paar von Faktoren ist $-2*3$, weil $-2+3=1$.

Füllen Sie die Lücken in Ihrer Antwort mit diesen wenigen Faktoren aus: $(x-2)(x+3)=0$.

Beispiel (Faktor): Am Ende haben wir die Gleichung $(x-2)(x+3)=0$. Wenn beide Faktoren in Klammern gleich 0 sind, dann ist die Gleichung wahr. Die eine Lösung ist $x-2=0$ → $x=2$. Die andere Lösung ist $x+3=0$ → $x=-3$.

Beispiel (quadratische Gleichung oder geteiltes Quadrat): Wenn Sie eine dieser Methoden verwenden, um die Gleichung zu lösen, wird eine Quadratwurzel angezeigt. Zum Beispiel wird unsere Gleichung $x=(-1+$. Denken Sie daran, dass Sie eine Quadratwurzel auf zwei verschiedene Lösungen vereinfachen können: $$, und$$. Schreiben Sie zwei Gleichungen, eine für jede Möglichkeit, und lösen Sie für jede von ihnen nach x auf.

Eine Lösung: Die Probleme lassen sich in zwei identische Faktoren aufteilen ((x-1)(x-1) = 0). Eingegeben in die quadratische Formel wird die Quadratwurzel $$. Du musst nur eine Gleichung lösen.

Es gibt keine wirkliche Lösung: Es gibt keine Faktoren, die die Anforderungen erfüllen (Auflistung zur Mittelfrist). Eingegeben in die quadratische Formel erhält man eine negative Zahl unter dem Radikal (wie $$). Schreibe `keine Lösung` als Antwort.

Beispiel: Wir haben zwei Lösungen gefunden, $x=2$ und $x=-3$. Eine unserer Linien hat die Gleichung $\mathrm{ja}=x+7$. Ersatz $\mathrm{ja}=2+7$ und $\mathrm{ja}=-3+7$, und löse jede Gleichung so, dass du erhältst $\mathrm{ja}=9$ und $\mathrm{ja}=4$ wenn du eine antwort bekommst.

Beispiel: Wenn wir $x=2$ Eingabe, wir bekommen $\mathrm{ja}=9$, so dass ein Schnittpunkt gleich ist (2, 9). Dasselbe machen wir für die zweite Lösung und erhalten den Schnittpunkt (-3, 4) an.

Tipps

• Gleichungen für einen Kreis oder eine Ellipse haben a $x^{}$ Begriff und ein ${\mathrm{ja}}^{}$ Begriff. Um den Schnittpunkt eines Kreises und einer Geraden zu finden, lösen Sie nach x innerhalb der linearen Gleichung. Setzen Sie die Lösung für x in die Kreisgleichung ein, und die quadratische Gleichung ist jetzt viel einfacher. Diese Probleme können 0, 1 oder 2 Lösungen haben, wie bereits in den obigen Methoden angegeben.
• Ein Kreis und eine Parabel (oder jede andere quadratische Gleichung) können 0, 1, 2, 3 oder 4 Lösungen haben. Finden Sie die Variable, die in beiden Gleichungen ein Quadrat ist – sagen wir, dies ist x. lose $x^{}$ an und ersetzen Sie die Antwort für $x^{}$ in der anderen Gleichung. Löse y auf, um die 0, 1 oder 2 Lösungen zu finden. Setze jede Lösung wieder in die ursprüngliche quadratische Gleichung ein und löse nach x. Jede davon kann 0, 1 oder 2 Lösungen haben.

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