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3x + 2x - 8 
6x + 13x + 6 
8x + 10x + 2 
27x - 12 = 0 
x + 4x + 1 = 0 
y = x − x − 2 
Wenn Sie nicht sehen können, wo sich die Parabel mit der x-Achse schneidet, drücken Sie [2nd] und dann [TRACE]. Drücken Sie [2] oder wählen Sie "Null". Bewegen Sie den Cursor links von einer Kreuzung und drücken Sie [ENTER]. Bewegen Sie den Cursor auf die rechte Seite einer Kreuzung und drücken Sie [ENTER]. Bewegen Sie den Cursor so nah wie möglich an die Kreuzung und drücken Sie [ENTER]. Der Rechner zeigt den x-Wert an.Machen Sie dasselbe für den anderen Schnittpunkt. 
Quadratische gleichungen faktorisieren
Ein Polynom enthält eine Variable (x) potenziert und mehrere Terme und/oder Konstanten. Um ein Polynom zu faktorisieren, müssen Sie den Ausdruck in kleinere Ausdrücke zerlegen, die miteinander multipliziert werden. Dies erfordert ein gewisses Maß an Mathematik und kann daher schwierig zu verstehen sein, wenn Sie noch nicht so weit sind.
Schritte
Methode 1 von 7: Erste Schritte
1. Die gleichung. Das Standardformat für eine quadratische Gleichung ist:
ax + bx + c = 0
Beginnen Sie damit, die Terme in Ihrer Gleichung von der höchsten zur niedrigsten Potenz zu ordnen. Nehmen wir zum Beispiel:
6 + 6x + 13x = 0
Wir werden diesen Ausdruck neu anordnen, um die Arbeit zu erleichtern – indem wir einfach die Begriffe verschieben:
6x + 13x + 6 = 0
Beginnen Sie damit, die Terme in Ihrer Gleichung von der höchsten zur niedrigsten Potenz zu ordnen. Nehmen wir zum Beispiel:
Wir werden diesen Ausdruck neu anordnen, um die Arbeit zu erleichtern – indem wir einfach die Begriffe verschieben:
2. Finden Sie die Faktoren mit einer der folgenden Methoden. Das Faktorisieren des Polynoms führt zu zwei kleineren Ausdrücken, die miteinander multipliziert werden können, um das ursprüngliche Polynom zu erhalten:
6x + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)
In diesem Beispiel sind (2x +3) und (3x + 2) Faktoren vom ursprünglichen Ausdruck, 6x + 13x + 6.
In diesem Beispiel sind (2x +3) und (3x + 2) Faktoren vom ursprünglichen Ausdruck, 6x + 13x + 6.
3. Überprüfe deine Arbeit! Multiplizieren Sie die gefundenen Faktoren. Kombiniere die gleichen Begriffe und du bist fertig. Beginnen mit:
(2x + 3) (3x + 2)
Lassen Sie uns dies testen, indem wir die Terme mit EBBL multiplizieren (erster - äußerer - innerer - letzter), was uns ergibt:
6x + 4x + 9x + 6
Jetzt addieren wir 4x und 9x zusammen, weil dies gleiche Terme sind. Wir wissen, dass die Faktoren richtig sind, weil wir die Gleichung zurückbekommen, mit der wir begonnen haben:
6x + 13x + 6
Lassen Sie uns dies testen, indem wir die Terme mit EBBL multiplizieren (erster - äußerer - innerer - letzter), was uns ergibt:
Jetzt addieren wir 4x und 9x zusammen, weil dies gleiche Terme sind. Wir wissen, dass die Faktoren richtig sind, weil wir die Gleichung zurückbekommen, mit der wir begonnen haben:
Methode 2 von 7: Versuch und Irrtum
Wenn Sie ein ziemlich einfaches Polynom haben, können Sie möglicherweise sofort sehen, was die Faktoren sind. Zum Beispiel können viele Mathematiker nach einiger Übung erkennen, dass der Ausdruck 4x + 4x + 1 hat die Faktoren (2x + 1) und (2x + 1) nur weil sie das so oft gesehen haben. (Mit komplizierteren Polynomen wird das natürlich nicht so einfach.) Nehmen wir für dieses Beispiel einen weniger Standardausdruck:
1. Notieren Sie die Faktoren der ein Begriff und die C Begriff. Verwenden Sie das Format ax + bx + c = 0, erkenne die ein und C Begriffe und beachten Sie, welche Faktoren es gibt. Für 3x + 2x - 8 bedeutet dies:
a = 3 und hat 1 Faktorenpaar: 1 * 3
c = -8 und hat 4 Faktorenpaare: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 und -1 * 8.
2. Schreiben Sie zwei Klammerpaare mit einem Leerzeichen. Hier geben Sie die Konstanten jedes Ausdrucks ein:
( x ) ( x )
3. Füllen Sie den Raum vor den xs mit einigen möglichen Faktoren der ein bei dem die. Für die ein Begriff in unserem Beispiel 3x gibt es nur 1 Möglichkeit:
(3x)(1x)
4. Füllen Sie die 2 Felder nach dem x mit ein paar Faktoren für die Konstanten aus. Angenommen, wir wählen 8 und 1. Geben Sie dies ein:
(3x 8)(X 1)
5. Legen Sie fest, welche Vorzeichen (Plus oder Minus) zwischen den x-Variablen und den Zahlen stehen sollen. Abhängig von den Vorzeichen des ursprünglichen Ausdrucks ist es möglich herauszufinden, welche Vorzeichen die Konstanten haben sollen. Nehmen wir die beiden Konstanten der beiden Faktoren h und k zu erwähnen:
Wenn ax + bx + c dann (x + h)(x + k)
Wenn ax - bx - c oder ax + bx - c dann (x - h)(x + k)
Wenn ax - bx + c dann (x - h)(x - k)
In unserem Beispiel, 3x + 2x - 8, ist das Vorzeichen:(x - h)(x + k), was uns die folgenden zwei Faktoren liefert:
(3x + 8) und (x - 1)
In unserem Beispiel, 3x + 2x - 8, ist das Vorzeichen:(x - h)(x + k), was uns die folgenden zwei Faktoren liefert:
6. Testen Sie Ihre Wahl mit der ersten-äußeren-inneren-letzten Multiplikation. Ein kurzer erster Test, um zu sehen, ob der Mittelwert zumindest der richtige Wert ist. Wenn nicht, hast du wahrscheinlich den falschen C Faktoren gewählt. Testen wir die Antwort:
(3x + 8)(x - 1)
Durch Multiplikation erhalten wir:
3x - 3x + 8x - 8
Vereinfachen Sie diesen Ausdruck, indem Sie die gleichen Terme (-3x) und (8x) hinzufügen, und wir erhalten:
3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Wir wissen jetzt, dass wir die falschen Faktoren genommen haben:
3x + 5x - 8 3x + 2x - 8
Durch Multiplikation erhalten wir:
Vereinfachen Sie diesen Ausdruck, indem Sie die gleichen Terme (-3x) und (8x) hinzufügen, und wir erhalten:
Wir wissen jetzt, dass wir die falschen Faktoren genommen haben:
7. Tauschen Sie Ihre Auswahl bei Bedarf aus. Versuchen wir in unserem Beispiel 2 und 4 anstelle von 1 und 8:
(3x + 2)(x - 4)
Jetzt unser C Term gleich -8, aber das äußere/innere Produkt von (3x * -4) und (2 * x) ist -12x und 2x, was nicht richtig ist B Begriff oder +2x bekommt.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Jetzt unser C Term gleich -8, aber das äußere/innere Produkt von (3x * -4) und (2 * x) ist -12x und 2x, was nicht richtig ist B Begriff oder +2x bekommt.
8. Die Reihenfolge bei Bedarf umkehren. Versuchen wir, 2 und 4 umzudrehen:
(3x + 4)(x - 2)
Jetzt unser C Term (4 * 2 = 8) und noch OK, aber die äußeren/inneren Produkte sind -6x und 4x.Wenn wir diese kombinieren, erhalten wir:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Wir kommen dem 2x ziemlich nahe, wo wir sein wollen, aber das Schild steht noch nicht.
Jetzt unser C Term (4 * 2 = 8) und noch OK, aber die äußeren/inneren Produkte sind -6x und 4x.Wenn wir diese kombinieren, erhalten wir:
9. Überprüfe deine Charaktere, falls nötig. Wir behalten diese Reihenfolge bei, vertauschen sie aber mit dem Minuszeichen:
(3x - 4)(x + 2)
Jetzt die C Laufzeit noch ok, und die äußeren/inneren Produkte sind jetzt (6x) und (-4x). Denn:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Wir sehen jetzt das Positive 2x zurück vom ursprünglichen Problem. Das müssen die richtigen Faktoren sein.
Jetzt die C Laufzeit noch ok, und die äußeren/inneren Produkte sind jetzt (6x) und (-4x). Denn:
Methode 3 von 7: Zersetzung
Diese Methode liefert alle möglichen Faktoren von ein und C Begriffe und verwenden Sie sie, um herauszufinden, welche Faktoren richtig sind. Wenn die Zahlen sehr groß sind oder das Rätselraten bei anderen Methoden zu lange dauert, verwenden Sie diese Methode. Ein Beispiel:
1. Multiplizieren Sie die ein Begriff mit dem C Begriff. In diesem Beispiel,, ein ist 6 und C ist auch 6.
6 * 6 = 36
2. Finden Sie die B Begriff durch Factoring und Testen. Wir suchen nach 2 Zahlen, die Faktoren von . sind ein * C , und zusammen die B Begriff (13) form.
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
3. Ersetzen Sie die beiden Zahlen, die Sie in Ihrer Gleichung erhalten, als Summe der B Begriff. Lasst uns k und h um die 2 Zahlen darzustellen, die wir haben, 4 und 9:
ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
4. Faktorisieren Sie das Polynom durch Gruppierung. Organisieren Sie die Gleichung so, dass Sie den größten gemeinsamen Teiler der ersten beiden Terme und der letzten beiden Terme isolieren können. Beide Faktoren sollten gleich sein. Fügen Sie die GCDs zusammen und setzen Sie sie in Klammern neben die Faktoren; Als Ergebnis erhalten Sie die beiden Faktoren:
6x + 4x + 9x + 6
2x(3x + 2) + 3(3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Methode 4 von 7: Triple Play
Ähnlich der Zerlegungsmethode. Die `Triple Play`-Methode untersucht die möglichen Faktoren des Produkts von ein und C und benutze es, um herauszufinden, was B muss sein. Nehmen Sie die Gleichung als Beispiel:
1. Multiplizieren Sie die ein Begriff mit dem C Begriff. Wie bei der Zerlegungsmethode verwenden wir dies, um die Kandidaten für die B Begriff. In diesem Beispiel: ein ist 8 und C ist 2.
8 * 2 = 16
2. Finde die 2 Zahlen mit dieser Zahl als Produkt und mit einer Summe gleich B Begriff. Dieser Schritt entspricht der Zerlegungsmethode – wir testen Kandidaten für die Konstanten. Das Produkt der ein und C Begriffe ist 16, und die C Begriff ist 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
3. Nimm diese 2 Zahlen und setze sie in die "Triple Play"-Formel ein. Nimm die 2 Zahlen aus dem vorherigen Schritt - lass sie uns sagen h und k nenne sie - und setze sie in den Ausdruck:
((ax + h)(ax + k))/ a
Damit erhalten wir:
((8x + 8)(8x + 2)) / 8
Damit erhalten wir:
4. Sehen Sie, welcher der beiden Terme im Nenner vollständig geteilt werden kann durch ein. In diesem Beispiel sehen wir uns an, ob (8x + 8) oder (8x + 2) durch 8 . geteilt werden können. (8x + 8) ist durch 8 teilbar, also teilen wir diesen Term durch ein und lass uns den anderen in ruhe lassen.
(8x + 8) = 8(x + 1)
Der Begriff, den wir hier beibehalten haben, ist der, der nach der Division durch übrig bleibt ein Begriff:(x + 1)
Der Begriff, den wir hier beibehalten haben, ist der, der nach der Division durch übrig bleibt ein Begriff:(x + 1)
5. Nimm den größten gemeinsamen Teiler (gcd) von einem oder beiden Termen, wenn möglich. In diesem Beispiel sehen wir, dass der zweite Term einen gcd von 2 hat, denn 8x + 2 = 2(4x + 1). Kombinieren Sie diese Antwort mit dem Begriff, den Sie im vorherigen Schritt entdeckt haben. Dies sind die Faktoren Ihrer Gleichung.
2(x+1)(4x+1)
Methode 5 von 7: Der Unterschied zwischen zwei Quadraten
Einige Koeffizienten in einem Polynom können als `Quadrate` erkannt werden, oder auch als das Produkt von 2 gleichen Zahlen. Wenn Sie herausfinden, was diese Quadrate sind, können Sie die Polynome möglicherweise viel schneller faktorisieren. Wir nehmen die Gleichung:
1. Entfernen Sie die gcd aus der Gleichung, wenn möglich. In diesem Fall sehen wir, dass 27 und 12 beide durch 3 teilbar sind, also können wir sie getrennt setzen:
27x - 12 = 3(9x - 4)
2. Bestimmen Sie, ob die Koeffizienten Ihrer Gleichung Quadrate sind. Um diese Methode verwenden zu können, ist es notwendig, die Wurzel der Terme zu bestimmen. (Beachten Sie, dass wir Dezimalzahlen weggelassen haben - da diese Zahlen Quadrate sind, können sie das Produkt von 2 negativen Zahlen sein)
9x = 3x * 3x und 4 = 2 * 2
3. Mit der von Ihnen ermittelten Quadratwurzel können Sie nun die Faktoren ausschreiben. Wir nehmen die ein und C Werte aus dem vorherigen Schritt: ein = 9 und C = 4, also sind die Wurzeln davon: - √ein = 3 undC = 2. Dies sind die Koeffizienten der faktorisierten Ausdrücke:
27x - 12 = 3(9x - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2)
Methode 6 von 7: Die ABC-Formel
Wenn nichts zu funktionieren scheint und Sie die Gleichung nicht faktorisieren können, verwenden Sie die abc-Formel. Nehmen Sie das folgende Beispiel:
1. Tragen Sie die entsprechenden Werte in die abc-Formel ein:
x = -b ± √(b - 4ac)
---------------------
2a
Wir erhalten nun den Ausdruck:
x = -4 ± (4 - 4•1•1) / 2
---------------------
2a
Wir erhalten nun den Ausdruck:
2. Auflösen nach x. Sie sollten nun 2 Werte für x . erhalten. Diese sind:
x = -2 + (3) oder x = -2 - √(3)
x = -2 + (3) oder x = -2 - √(3)
3. Verwenden Sie die Werte von x, um die Faktoren zu bestimmen. Tragen Sie die in den beiden Gleichungen erhaltenen x-Werte als Konstanten ein. Das sind deine Faktoren. Wenn wir die beiden beantworten h und k dann schreiben wir die beiden Faktoren wie folgt:
(x-h)(x-k)
In diesem Fall lautet die endgültige Antwort:
(x - (-2 + (3))(x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3))(x + 2 + √(3))
In diesem Fall lautet die endgültige Antwort:
Methode 7 von 7: Verwenden Sie einen Taschenrechner
Wenn es erlaubt (oder erforderlich) ist, einen Grafikrechner zu verwenden, erleichtert dies das Factoring erheblich, insbesondere bei Prüfungen und Prüfungen. Die folgenden Anweisungen gelten für einen TI-Grafiktaschenrechner. Wir verwenden die Gleichung aus dem Beispiel:
1. Geben Sie die Gleichung in Ihren Taschenrechner ein. Sie verwenden den Gleichungslöser, auch bekannt als [Y = ]-Bildschirm.
2. Zeichnen Sie die Gleichung mit dem Taschenrechner. Nachdem Sie die Gleichung eingegeben haben, drücken Sie [GRAPH] - Sie sollten jetzt eine gekrümmte Linie sehen, eine Parabel als grafische Darstellung Ihrer Gleichung (und es ist eine Parabel, da wir es mit einem Polynom zu tun haben).
3. Finden Sie den Schnittpunkt der Parabel mit der x-Achse. Da eine quadratische Gleichung traditionell als ax + bx + c = 0 notiert wird, sind dies die beiden x-Werte, die die Gleichung gleich Null machen:
(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
4. Geben Sie die erhaltenen x-Werte in die beiden faktorisierten Ausdrücke ein. Nehmen wir die beiden x-Werte h und k schreiben Sie es als Begriff auf, dann sieht der von uns verwendete Ausdruck so aus:
(x - h)(x - k) = 0
Unsere beiden Faktoren werden dann also:
(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2)
Unsere beiden Faktoren werden dann also:
Tipps
- Wenn Sie das Polynom mit der abc-Formel faktorisiert haben und Ihre Antwort Wurzeln enthält, können Sie die x-Werte in Brüche umwandeln, um sie zu überprüfen.
- Hat ein Term keinen Koeffizienten davor, dann ist der Koeffizient gleich 1, z.B. x = 1x.
- Wenn Sie einen TI-84-Rechner haben, gibt es ein Programm namens SOLVER, das eine quadratische Gleichung für Sie lösen kann. Dies löst auch Polynome höheren Grades.
- Nach viel Übung wirst du es schließlich schaffen, Polynome auswendig zu lösen. Aber sicherheitshalber besser immer aufschreiben.
- Existiert kein Term, dann ist der Koeffizient gleich null. Dann kann es nützlich sein, die Gleichung umzuschreiben. Z.B. x + 6 = x + 0x + 6.
Warnungen
- Wenn du dieses Konzept im Matheunterricht lernst, achte darauf, was der Lehrer erklärt und wende nicht nur deine eigene Lieblingsmethode an. Möglicherweise werden Sie aufgefordert, eine bestimmte Methode für einen Test zu verwenden, oder grafische Taschenrechner sind möglicherweise nicht erlaubt.
Notwendigkeiten
- Bleistift
- Papier
- Quadratische Gleichung (auch quadratische Gleichung genannt)
- Grafikrechner (optional)
"Quadratische gleichungen faktorisieren"
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