Quadrate teilen lernen: 8 Schritte

Schritte
Tipps

Eine der wichtigsten Fähigkeiten für Mathematikstudenten ist die ABC-Formel, oder $x = - B \pm \sqrt{B} 2 - 4 ein C 2 ein .$ $x={frac{-bpm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$ Mit der abc-Formel eine quadratische Gleichung der Form lösen $ein x 2 + B x + C = 0$ $ax^{{2}}+bx+c=0$ eine einfache Sache des Einsetzens der Koeffizienten $ein, B, C$ $ABC$ in der formel. Während es für viele oft genug ist, die Formel zu kennen, ist sie es verstehen wie es abgeleitet wird (also woher es kommt) etwas ganz anderes. Die Formel wird abgeleitet über `quadratisch`, das auch andere Anwendungen in der Mathematik hat, also ist es ratsam, dass Sie damit vertraut sind.

Schritte

1. Beginnen Sie mit der Standardform einer allgemeinen quadratischen Gleichung. Obwohl jeder Vergleich mit einem Begriff wie

x 2

$x^{{2}}$ in, ist quadratisch, die Standardform setzt alles auf Null. Erinnere dich daran

ein, B, C

$ABC$ sind Koeffizienten, die jede ganze Zahl sein können, daher können Sie jetzt keine Zahlen für die Variablen eingeben - wir möchten mit der allgemeinen Form arbeiten.

$ein x 2 + B x + C = 0$ $ax^{{2}}+bx+c=0$
Die einzige Bedingung ist, dass $ein \neq 0$ $aneq 0$ , andernfalls wird die Gleichung zu einer linearen Gleichung vereinfacht. Sehen Sie nach, ob Sie allgemeine Lösungen für spezielle Fälle finden können, in denen $B = 0$ $b=0$ und $C = 0$ $c=0$ .

2. ziehen C{displaystyle c} $C$ von beiden seiten. Unser Ziel ist es zu isolieren

x

$x$ . Wir beginnen damit, dass wir einen der Koeffizienten auf die andere Seite verschieben, sodass die linke Seite nur aus Termen mit . besteht

x

$x$ .

ein x 2 + B x = - C

$ax^{{2}}+bx=-c$

3. Teilen Sie beide Seiten ein{displaystyle a} $ein$ . Beachten Sie, dass wir diese im vorherigen Schritt hätten austauschen können und immer noch die gleiche Antwort erhalten. Denken Sie daran, dass das Teilen eines Polynoms durch etwas bedeutet, dass jeder seiner einzelnen Terme geteilt wird. So lässt sich das Quadrat leichter teilen.

x 2 + \frac{B}{ein} x = - C ein

$x^{{2}}+{frac{b}{a}}x={frac{-c}{a}}$

4.Teile das Quadrat. Denken Sie daran, dass das Ziel darin besteht, einen Ausdruck zu erstellen

x 2 + 2 ◻ x + ◻^{2}

$x^{{2}}+2Box x+Box^{{2}}$ umschreiben als

(x + ◻) 2,

$(x+Box)^{{2}},$ wodurch

◻

$Kasten$ ist ein Koeffizient. Das ist dir vielleicht nicht sofort klar. Um es klarer zu machen, schreibe um

\frac{B}{ein} x

${frac{b}{a}}x$ wenn

2 B 2 ein x

$2{frac{b}{2a}}x$ indem man den Begriff mit multipliziert

\frac{2}{2} .

${frac{2}{2}}$ Wir können dies tun, weil die Multiplikation mit 1 nichts ändert. Das können wir jetzt in unserem Fall deutlich erkennen

◻ = B 2 ein,

$Box ={frac{b}{2a}},$ , es fehlt also nur der Begriff

◻ 2

$Box ^{{2}}$ . Um das Quadrat zu teilen, fügen wir es also auf beiden Seiten hinzu - nämlich,

(B 2 ein) 2 = B 2 4 ein 2 .

$left({frac{b}{2a}}right)^{{2}}={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}$ Und dann können wir natürlich faktorisieren.

\begin{matrix} x \end{matrix} 2 + 2 B 2 ein x + B 2 4 ein 2 = B 2 4 ein 2 - \frac{C}{ein} (^{x + B 2 ein) 2} & = B 2 4 ein 2 - \frac{C}{ein}

${begin{ausgerichtet}x^{{2}}+2{frac{b}{2a}}x+{frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}& ={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}-{frac{c}{a}}\links(x+{frac{b}{2a}} right)^{{2}}&={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}-{frac{c}{a}}end{ausgerichtet} }$

Hier ist klar warum

ein \neq 0

$aneq 0$ , weil

ein

$ein$ steht im Nenner und kann nicht durch Null geteilt werden.

Bei Bedarf können Sie die linke Seite verlängern, um sicherzustellen, dass die Quadratur funktioniert.

5. Schreibe die rechte Seite auf einen gemeinsamen Nenner. Wir wollen, dass beide Nenner sind

4 ein 2

$4a^{{2}}$ sind, also multipliziere den Begriff

- C ein

${frac{-c}{a}}$ von

4 ein 4 ein

${frac{4a}{4a}}$ .

\begin{matrix}  \end{matrix} (x + B 2 ein) 2 = B 2 4 ein 2 - 4 ein C 4 ein 2 = B 2 - 4 ein C 4 ein 2

${begin{ausgerichtet}left(x+{frac{b}{2a}}right)^{{2}}&={frac{b^{{2}}}{4a^{{2 }}}}-{frac{4ac}{4a^{{2}}}}\&={frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}} end{ausgerichtet}}$

6. Berechne die Quadratwurzel beider Seiten. Es ist jedoch wichtig, dass Sie verstehen, dass Sie damit im Wesentlichen zwei Schritte unternehmen. Wenn Sie die Quadratwurzel von ziehen

D 2

$d^{{2}}$ , dann bekommst du

D

$D$ nicht. Sie erhalten im Grunde den absoluten Wert davon,

| D |

$|d|$ . Dieser absolute Wert ist essentiell um beide Wurzeln zu erhalten - einfaches Platzieren von Quadratwurzeln über beiden Seiten ergibt nur eine der Wurzeln.

| x + B 2 ein | = \sqrt{} B 2 - 4 ein C 4 ein 2

$left|x+{frac{b}{2a}}right|={sqrt{{frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}}}}$

Jetzt können wir die Absolutwertzeichen loswerden, indem wir

\pm

$p.m$ rechts platzieren. Wir können dies tun, weil der Absolutwert nicht zwischen positiven und negativen Zahlen unterscheidet, also beide gültig sind. Dieses Detail ist der Grund, warum die quadratische Gleichung es ermöglicht, als Ergebnis zwei Wurzeln zu erhalten.

x + B 2 ein = \pm \sqrt{} B 2 - 4 ein C 4 ein 2

$x+{frac{b}{2a}}=pm {sqrt{{frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}}}}$

Vereinfachen wir diesen Ausdruck noch ein bisschen. Da die Quadratwurzel eines Quotienten der Quotient der Quadratwurzeln ist, können wir die rechte Seite schreiben als

\pm \sqrt{B} 2 - 4 ein C \sqrt{4 {ein}^{2}} .

${frac{pm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{{sqrt{4a^{{2}}}}}}$ Dann können wir die Quadratwurzel des Nenners ziehen.

x + B 2 ein = \pm \sqrt{B} 2 - 4 ein C 2 ein

$x+{frac{b}{2a}}={frac{pm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

7. isolieren x{displaystyle x} $x$ durch Subtrahieren

B2ein{displaystyle {frac {b}{2a}}} ${frac{b}{2a}}$ auf beiden Seiten.

x = - B 2 ein \pm \sqrt{B} 2 - 4 ein C 2 ein

$x={frac{-b}{2a}}pm {frac{{sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

8. Schreibe die rechte Seite auf einen gemeinsamen Nenner. Dies ist nicht wie die abc-Formel, die Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung in Standardform. Das funktioniert für jeden

ein, B, C

$ABC$ und gibt

x

$x$ als Ergebnis, das eine reelle oder komplexe Zahl sein kann. Um zu überprüfen, ob dieser Vorgang funktioniert, führen Sie einfach die Schritte in diesem Artikel in umgekehrter Reihenfolge aus, um zum Standardformular zurückzukehren.

x = - B \pm \sqrt{B} 2 - 4 ein C 2 ein

$x={frac{-bpm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

Tipps

Es ist interessant zu bemerken, dass die abc-Formel auch für komplexe Koeffizienten gilt, obwohl Sie etwas mehr vereinfachen müssen, um die endgültige Antwort zu erhalten, und die Wurzeln keine konjugierten Paare sind. Probleme mit quadratischen Ausdrücken sind jedoch fast immer mit reellen Koeffizienten gegeben.

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