Binomiale faktorisieren (mit Bildern)

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In der Algebra sind Binomiale Ausdrücke mit zwei Begriffen, die durch ein Plus- oder Minuszeichen verbunden sind, wie z $ein x + B$ $ax+b$ . Der erste Term enthält immer eine Variable, der zweite Term nicht. Ein Binomialfaktor zu faktorisieren bedeutet, nach einfacheren Termen zu suchen, die, wenn sie miteinander multipliziert werden, diesen Binomialausdruck ergeben, der beim Lösen oder Vereinfachen für weitere Aufgaben hilft.

Schritte

Teil 1 von 3: Binomialzahlen faktorisieren

1. Wiederholen Sie die Grundlagen des Factorings noch einmal. Factoring teilt eine große Zahl in ihre einfachsten Teiler. Jeder dieser Teile wird als „Faktor“ bezeichnet. Zum Beispiel ist die Zahl 6 durch vier verschiedene Zahlen teilbar: 1, 2, 3 und 6. 1, 2, 3 und 6 sind also die Faktoren von 6.

Die Faktoren von 32 sind 1, 2, 4, 8, 16 und 32
Sowohl die `1` als auch die Zahl, die Sie faktorisieren, sind immer Faktoren. Die Faktoren einer kleinen Zahl wie 3 sind also nur 1 und 3.
Faktoren sind nur die Zahlen, die vollständig teilbar sind, also die `ganzen` Zahlen. Sie könnten 32 durch 3,564 oder 21,4952 teilen, aber das sind keine Faktoren, sondern nur Dezimalzahlen.

2. Listen Sie die Begriffe des Binomials auf, um sie leichter lesbar zu machen. Ein Binomial ist nichts anderes als die Addition oder Subtraktion von zwei Termen, von denen mindestens einer eine Variable enthält. Manchmal haben diese Variablen Exponenten, wie z

x 2

$x^{2}$ oder

5 ja 4

$5 Jahre^{4}$ . Wenn Sie zum ersten Mal versuchen, Binomie zu faktorisieren, hilft es, die Gleichungen in absteigenden Variablenwerten zu ordnen, was bedeutet, dass der größte Exponent zuletzt kommt. Zum Beispiel:

3 T + 6

$3t+6$ →

6 + 3 T

$6+3t$

3 x 4 + 9 x^{2}

$3x^{4}+9x^{2}$ →

9 x 2 + 3 x^{4}

$9x^{2}+3x^{4}$

x 2 - 2

$x^{2}-2$ →

- 2 + x 2

$-2+x^{2}$

Beachten Sie, wie die Minuszeichen vor der 2 bleiben. Wenn ein Term subtrahiert wird, bleibt das Minuszeichen davor.

3. Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler beider Terme. Dies bedeutet, dass Sie nach der größten Zahl suchen, durch die beide Teile des Binomials teilbar sind. Wenn dies nicht funktioniert, faktoriere beide Zahlen einzeln und schau, was die höchste übereinstimmende Zahl ist. Zum Beispiel:

Übungsaufgabe:

3 T + 6

$3t+6$ .

Faktoren von 3:1, 3

Faktoren von 6: 1, 2, 3, 6.

`Der größte gemeinsame Teiler ist 3`.

4. Teilen Sie den größten gemeinsamen Teiler für jeden Begriff. Wenn Sie den gemeinsamen Nenner kennen, müssen Sie ihn aus jedem Begriff entfernen. Beachten Sie, dass Sie die Terme nur dividieren, wodurch jeder ein kleineres Divisionsproblem wird. Bei richtiger Ausführung haben beide Gleichungen den gleichen Faktor:

Übungsaufgabe:

3 T + 6

$3t+6$ .

Finden Sie die größten gemeinsamen Teiler: 3

Um Faktor aus beiden Termen zu entfernen:

3 T 3 + \frac{6}{3} = T + 2

${frac{3t}{3}}+{frac{6}{3}}=t+2$

5. Multiplizieren Sie Ihren Faktor mit dem resultierenden Ausdruck, um abzurunden. Im letzten Problem hast du eine 3 entfernt und du bekommst

T + 2

$t+2$ . Aber Sie wollen die 3 nicht komplett loswerden, sondern einfach einkalkulieren, um die Dinge zu vereinfachen. Sie können nicht einfach Zahlen löschen, ohne sie zurückzusetzen! Multiplizieren Sie den Faktor mit dem Ausdruck, um diesen Abschnitt zu vervollständigen. Zum Beispiel:

Übungsaufgabe:

3 T + 6

$3t+6$

Finden Sie die größten gemeinsamen Teiler: 3

Um Faktor aus beiden Termen zu entfernen:

3 T 3 + \frac{6}{3} = T + 2

${frac{3t}{3}}+{frac{6}{3}}=t+2$

Faktor mit neuem Ausdruck multiplizieren:

3 (T + 2)

$3(t+2)$

Endgültige gelöste Antwort: $3 (T + 2)$ $3(t+2)$

6. Überprüfen Sie Ihre Arbeit, indem Sie mit der ursprünglichen Gleichung multiplizieren. Wenn Sie alles richtig gemacht haben, können Sie leicht überprüfen, ob Sie es richtig gemacht haben. Multiplizieren Sie Ihren Faktor mit den beiden einzelnen Begriffen in Klammern. Wenn es mit dem ursprünglichen Binomial übereinstimmt, haben Sie alles richtig gemacht. Von Anfang bis Ende lösen wir den Ausdruck

12 T + 18

$12t+18$ weiter zum Üben:

So ordnen Sie Bedingungen neu an:

18 + 12 T

$18+12t$

Den größten gemeinsamen Teiler finden:

6

$6$

Um Faktor aus beiden Termen zu entfernen:

18 T 6 + 12 T 6 = 3 + 2 T

${frac{18t}{6}}+{frac{12t}{6}}=3+2t$

Faktor mit neuem Ausdruck multiplizieren:

6 (3 + 2 T)

$6(3+2t)$

Prüfe die Antwort:

(6 * 3) + (6 * 2 T) = 18 + 12 T

$(6*3)+(6*2t)=18+12t$

Teil 2 von 3: Binomiale faktorisieren, um Gleichungen zu lösen

1. Faktor zur Vereinfachung von Gleichungen, damit sie leichter zu lösen sind. Beim Lösen einer Gleichung mit Binomialen, insbesondere komplexen Binomialen, kann es so aussehen, als ob es keine Möglichkeit gibt, alles in Einklang zu bringen. Versuchen Sie beispielsweise Folgendes zu lösen:

5 ja - 2 ja 2 = - 3 ja

$5y-2y^{2}=-3y$ . Eine Möglichkeit, dies insbesondere bei Exponenten zu tun, besteht darin, zuerst zu faktorisieren.

Übungsaufgabe: $5 ja - 2 ja 2 = - 3 ja$ $5y-2y^{2}=-3y$
Denken Sie daran, dass Binome nur zwei Terme haben können. Wenn es mehr als zwei Begriffe gibt, müssen Sie lernen Polynome zu lösen.

2. Addiere und subtrahiere, sodass eine Seite der Gleichung gleich Null ist. Diese ganze Strategie beruht auf einer der grundlegendsten Tatsachen der Mathematik: Etwas, das mit Null multipliziert wird, muss gleich Null sein. Wenn Ihre Gleichung also gleich Null ist, muss einer der faktorisierten Terme gleich Null sein! Zu Beginn addieren und subtrahieren Sie so, dass eine Seite gleich Null ist.

Übungsaufgabe:

5 ja - 2 ja 2 = - 3 ja

$5y-2y^{2}=-3y$

Gleich Null:

5 ja - 2 ja 2 + 3 ja = - 3 ja + 3 ja

$5y-2y^{2}+3y=-3y+3y$

8 ja - 2 ja 2 = 0

$8y-2y^{2}=0$

3. Lösen Sie die Nicht-Null-Seite wie gewohnt auf. An diesem Punkt tust du nur so, als ob die andere Seite nicht existiert. Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler, teilen Sie ihn und erstellen Sie dann Ihren faktorisierten Ausdruck.

Übungsaufgabe:

5 ja - 2 ja 2 = - 3 ja

$5y-2y^{2}=-3y$

Gleich Null:

8 ja - 2 ja 2 = 0

$8y-2y^{2}=0$

Sich auflösen:

2 ja (4 - ja) = 0

$2y(4-y)=0$

4. Setzen Sie die Terme innerhalb und außerhalb der Klammern gleich Null. In der Übungsaufgabe multiplizieren Sie 2y mit (4 – y), und diese muss gleich Null sein. Da etwas mit Null multipliziert gleich Null ist, bedeutet dies, dass 2y oder (4 – y) gleich Null sein muss. Stellen Sie zwei separate Gleichungen auf, um herauszufinden, welchen Wert y haben muss, um eine Seite gleich Null zu machen.

Übungsaufgabe:

5 ja - 2 ja 2 = - 3 ja

$5y-2y^{2}=-3y$

Gleich Null:

8 ja - 2 ja 2 + 3 ja = 0

$8y-2y^{2}+3y=0$

Sich auflösen:

2 ja (4 - ja) = 0

$2y(4-y)=0$

Machen Sie beide Terme gleich Null 0:

2 ja = 0

$2y=0$

4 - ja = 0

$4-y=0$

5. Löse beide Gleichungen nach Null für die endgültige Antwort oder Antworten. Sie können eine oder mehrere Antworten erhalten. Denken Sie daran, dass nur eine Seite gleich Null sein muss, damit Sie ein paar verschiedene Werte für y erhalten, die dieselbe Gleichung lösen. Die letzten Schritte der Übungsaufgabe:

2 ja = 0

$2y=0$

2 ja 2 = \frac{0}{2}

${frac{2y}{2}}={frac{0}{2}}$

y = 0

4 - ja = 0

$4-y=0$

4 - ja + ja = 0 + ja

$4-y+y=0+y$

y = 4

6. Wende deine Antworten wieder auf die ursprüngliche Gleichung an, um sicherzustellen, dass sie richtig sind. Sobald Sie die richtigen Werte für y gefunden haben, sollten Sie diese verwenden können, um die Gleichung zu lösen. Dies ist so einfach wie das Ausprobieren jedes Wertes von y anstelle der Variablen wie unten gezeigt. Die Antworten sind y = 0 und y = 4, also:

5 (0) - 2 (0) 2 = - 3 (0)

$5(0)-2(0)^{2}=-3(0)$

0 + 0 = 0

$0+0=0$

0 = 0

$0=0$ Diese Antwort ist richtig

5 (4) - 2 (4) 2 = - 3 (4)

$5(4)-2(4)^{2}=-3(4)$

20 - 32 = - 12

$20-32=-12$

- 12 = - 12

$-12=-12$ Diese Antwort ist auch richtig.

Teil3 von 3: Umgang mit härteren Problemen

1. Denken Sie daran, dass Variablen auch mit Exponenten als Faktoren gelten. Denken Sie daran, dass es beim Faktorisieren darum geht, zu bestimmen, welche Zahlen in die ganze Zahl passen. Der Ausdruck

x 4

$x^{4}$ ist eine andere Art zu sagen

x * x * x * x

$x*x*x*x$ . Dies bedeutet, dass Sie jedes x außerhalb von Klammern setzen können, wenn der andere Begriff auch eine hat. Behandeln Sie Variablen wie reguläre Zahlen. Zum Beispiel:

$2 T + T 2$ $2t+t^{2}$ kann faktorisiert werden, da beide Terme ein t . enthalten. Die endgültige Antwort wird sein $T (2 + T)$ $t(2+t)$
Sie können sogar mehrere Variablen gleichzeitig außerhalb von Klammern platzieren. Zum Beispiel in $x 2 + x^{4}$ $x^{2}+x^{4}$ beide Begriffe enthalten dasselbe $x 2$ $x^{2}$ . Du kannst das auflösen in $x 2 (1 + x^{2})$ $x^{2}(1+x^{2})$

2. Erkenne noch nicht vereinfachte Binome, indem du gleiche Terme kombinierst. Nehmen Sie zum Beispiel den Ausdruck

6 + 2 x + 14 + 3 x

$6+2x+14+3x$ . Hier sieht es so aus, als hätte man es mit vier Begriffen zu tun, doch bei genauerem Hinsehen stellt man fest, dass es nur zwei sind. Sie können ähnliche Begriffe hinzufügen und da sowohl 6 als auch 14 keine Variable haben und 2x und 3x dieselbe Variable teilen, können sie zusammengeführt werden. Das Auflösen ist dann einfach:

Ursprünglicher Auftrag:

6 + 2 x + 14 + 3 x

$6+2x+14+3x$

So ordnen Sie Bedingungen neu an:

2 x + 3 x + 14 + 6

$2x+3x+14+6$

So führen Sie ähnliche Begriffe zusammen:

5 x + 20

$5x+20$

Finden Sie die größten gemeinsamen Teiler:

5 (x) + 5 (4)

$5(x)+5(4)$

Sich auflösen:

5 (x + 4)

$5(x+4)$

3. Erkenne die besondere `Differenz der perfekten Quadrate`. Ein perfektes Quadrat ist eine Zahl, deren Wurzel eine ganze Zahl ist, wie z

9

$9$

(3 * 3)

$(3*3)$ ,

x 2

$x^{2}$

(x * x)

$(x*x)$ , oder auch

144 T 2

$144t^{2}$

(12 T * 12 T)

$(12t*12t)$ Wenn Ihr Binomial eine Minussumme mit zwei perfekten Quadraten ist, wie z

ein 2 - B^{2}

$a^{2}-b^{2}$ , Dann kannst du sie einfach in dieser Formel verwenden:

Die Formel für die Differenz perfekter Quadrate:

ein 2 - B^{2} = (ein + B) (ein - B)

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

Übungsaufgabe:

4 x 2 - 9

$4x^{2}-9$

Bestimme die Quadratwurzeln:

\sqrt{4 x} 2 = 2 x

${sqrt{4x^{2}}}=2x$

\sqrt{9} = 3

${sqrt{9}}=3$

Wende Quadratwurzeln auf die Formel an: $4 x 2 - 9 = (2 x + 3) (2 x - 3)$ $4x^{2}-9=(2x+3)(2x-3)$

4. Lernen Sie, den `Unterschied der perfekten Würfel` zu vereinfachen. Wie die perfekten Quadrate ist dies eine einfache Formel, bei der zwei Würfel voneinander subtrahiert werden. Zum Beispiel,

ein 3 - B^{3}

$a^{3}-b^{3}$ . Finden Sie wie zuvor die Kubikwurzel von jedem und verwenden Sie diese in der Formel:

Formel für die Differenz der dritten Potenzen:

ein 3 - B^{3} = (ein - B) ({ein}^{2} + ein B + B^{2})

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

Übungsaufgabe:

8 x 3 - 27

$8x^{3}-27$

Bestimme die Kubikwurzeln:

8 x 33 = 2 x

${sqrt[ {3}]{8x^{3}}}=2x$

273 = 3

${sqrt[ {3}]{27}}=3$

Wende Würfel auf die Formel an: $8 x 3 - 27 = (2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)$ $8x^{3}-27=(2x-3)(4x^{2}+6x+9)$

5. Wisse, dass die Summe perfekter Würfel auch in eine Formel passt. Im Gegensatz zum Unterschied der perfekten Quadrate können Sie hinzugefügte Würfel verwenden, wie z

ein 3 + B^{3}

$a^{3}+b^{3}$ , auch leicht zu finden mit einer einfachen Formel. Dies ist fast genau das gleiche wie oben, aber mit einigen Vor- und Nachteilen vertauscht. Die Formel ist genauso einfach wie die anderen beiden, und Sie müssen nur die beiden Würfel in der Aufgabe erkennen:

Formel für die Summe perfekter Würfel:

ein 3 + B^{3} = (ein + B) ({ein}^{2} - ein B + B^{2})

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

Übungsaufgabe:

8 x 3 - 27

$8x^{3}-27$

Bestimme die Kubikwurzeln:

8 x 33 = 2 x

${sqrt[ {3}]{8x^{3}}}=2x$

273 = 3

${sqrt[ {3}]{27}}=3$

Wende die Würfel auf die Formel an: $8 x 3 - 27 = (2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9)$ $8x^{3}-27=(2x+3)(4x^{2}-6x+9)$

Tipps

Nicht alle Binome haben gemeinsame Teiler! Einige wurden bereits so weit wie möglich vereinfacht.
Wenn Sie sich nicht sicher sind, ob es einen gemeinsamen Teiler gibt, dividieren Sie zuerst durch kleinere Zahlen. Wenn Sie beispielsweise nicht sofort sehen, dass 16 der gemeinsame Teiler von 32 und 16 ist, beginnen Sie, beide Zahlen durch 2 zu teilen. Es bleiben 16 und 8, die auch durch 8 geteilt werden können. Jetzt hast du 2 und 1, die kleinsten Faktoren. Es gibt eindeutig einen gemeinsamen Teiler größer als 8 und 2.
Beachten Sie, dass eine sechste Potenz (x) sowohl ein perfektes Quadrat ist und ist ein perfekter Würfel. Sie können also eine der obigen Sonderformeln in beliebiger Reihenfolge auf ein Binomial anwenden, das die Differenz der perfekten sechsten Potenzen ist, z. B. x - 64. Möglicherweise finden Sie es jedoch einfacher, zuerst die Differenzformel für perfekte Quadrate anzuwenden, damit Sie das Binomial weiter faktorisieren können.