Polynome lösen

Ein Polynom ist ein Ausdruck aus Addition und Subtraktion von Termen. Ein Term kann aus Variablen, Konstanten und Koeffizienten bestehen. Beim Lösen von Polynomen versucht man normalerweise herauszufinden, für welche Punkte x = 0. Polynome niedrigsten Grades haben eine oder zwei Lösungen, je nachdem, ob es sich um lineare Polynome oder quadratische Polynome handelt. Diese Arten von Polynomen können leicht mit elementarer Algebra und Faktorisierung gelöst werden. Um Polynome höheren Grades zu lösen, kannst du Artikel auf wikiHow lesen.

Schritte

Methode 1 von 2: Lösen eines linearen Polynoms

Bildtitel Solve Polynomials Step 1
1. Bestimmen Sie, ob Sie es mit einem linearen Polynom zu tun haben. Ein lineares Polynom ist ein Polynom ersten Grades. Dies bedeutet, dass keine Variable einen Exponenten (oder einen Exponenten größer als 1) hat. Da dies ein Polynom ersten Grades ist, hat es genau eine Lösung.
  • Zum Beispiel, 5x+2{displaystyle 5x+2}5x+2 ist ein lineares Polynom (oder Polynom), weil die Variable x{displaystyle x}x hat keinen Exponenten (was einem Exponenten von 1 entspricht).
Bildtitel Solve Polynomials Step 2
2. Machen Sie die Gleichung gleich Null. Dies ist ein notwendiger Schritt zum Lösen aller Polynome.
  • Zum Beispiel, 5x+2=0{displaystyle 5x+2=0}5x+2=0
    • Bildtitel Solve Polynomials Step 3
    3. Verschieben Sie den Variablenterm zur Seite. Tun Sie dies, indem Sie die Konstante von beiden Seiten der Gleichung addieren oder subtrahieren. Eine Konstante ist ein Term ohne Variable.
  • Zum Beispiel zu x{displaystyle x}x in 5x+2=0{displaystyle 5x+2=0}5x+2=0 um zu isolieren, ziehst du 2{displaystyle 2}2 von beiden Seiten der Gleichung die Gleichung:
    5x+2=0{displaystyle 5x+2=0}5x+2=0
    5x+2-2=0-2{displaystyle 5x+2-2=0-2}5x+2-2=0-2
    5x=-2{displaystyle 5x=-2}5x=-2
    • Bildtitel Solve Polynomials Step 4
    4. Löse die Variable. Normalerweise müssen Sie jede Seite der Gleichung durch die Konstante dividieren. Damit erhältst du die Lösung des Polynoms.
  • Zum Beispiel zu x{displaystyle x}x gelöst werden in 5x=-2{displaystyle 5x=-2}5x=-2, dividiere jede Seite der Gleichung durch 5{displaystyle 5}5:
    5x=-2{displaystyle 5x=-2}5x=-2
    5x5=-25{displaystyle {frac {5x}{5}}={frac {-2}{5}}}{frac{5x}{5}}={frac{-2}{5}}
    x=-25{displaystyle x={frac {-2}{5}}}x={frac{-2}{5}}
    Die Lösung von ist also 5x+2{displaystyle 5x+2}5x+2 ist x=-25{displaystyle x={frac {-2}{5}}}x={frac{-2}{5}}.

    • Methode 2 von 2: Lösen eines quadratischen Polynoms

    Bildtitel Solve Polynomials Step 5
    1. Bestimmen Sie, ob Sie es mit einem quadratischen Polynom zu tun haben. Ein quadratisches Polynom ist eine quadratische Gleichung. Dies bedeutet, dass keine Variable einen Exponenten größer als 2 . hat. Da es sich um ein Polynom zweiten Grades handelt, gibt es zwei Lösungen.
    • Zum Beispiel, x2+8x-20{displaystyle x^{2}+8x-20}x^{{2}}+8x-20 ist ein quadratisches Polynom, denn die Variable x{displaystyle x}x ein 2{displaystyle 2}2 hat als Exponent.
    Bildtitel Solve Polynomials Step 6
    2. Stellen Sie sicher, dass das Polynom in der Reihenfolge des Grades geschrieben ist. Dies bedeutet, dass der Term mit Exponent 2{displaystyle 2}2 wird zuerst aufgeführt, gefolgt vom Term ersten Grades, dann die Konstante.
  • Zum Beispiel umschreiben 8x+x2-20{displaystyle 8x+x^{2}-20}8x+x^{{2}}-20 also wenn x2+8x-20{displaystyle x^{2}+8x-20}x^{{2}}+8x-20.
    • Bildtitel Solve Polynomials Step 7
    3. Machen Sie die Gleichung gleich Null. Dies ist ein notwendiger Schritt zum Lösen aller Polynome.
  • Zum Beispiel, x2+8x-20=0{displaystyle x^{2}+8x-20=0}x^{{2}}+8x-20=0.
    • Bildtitel Solve Polynomials Step 8
    4. Schreiben Sie den Ausdruck in einen Vierterm-Ausdruck um. Sie tun dies, indem Sie das Erstsemester (de x{displaystyle x}x Begriff). Sie suchen zwei Zahlen, deren Summe gleich dem Koeffizienten ersten Grades ist und deren Produkt gleich der Konstanten . ist.
  • Zum Beispiel für das quadratische Polynom x2+8x-20=0{displaystyle x^{2}+8x-20=0}x^{{2}}+8x-20=0, Du musst zwei Zahlen finden (ein{displaystyle a}ein und B{displaystyle b}B), wahr ein+B=8{displaystyle a+b=8}a+b=8 und ein⋅B=-20{displaystyle acdot b=-20}acdot b=-20.
  • Wegen dir -20{displaystyle -20}-20 Sie wissen, dass eine der Zahlen negativ sein wird.
  • Das solltest du sehen 10+(-2)=8{displaystyle 10+(-2)=8}10+(-2)=8 und 10⋅(-2)=-20{displaystyle 10cdot (-2)=-20}10cdot (-2)=-20. Also spaltest du dich auf 8x{displaystyle 8x}8x auf in 10x-2x{displaystyle 10x-2x}10x-2x und schreibe das quadratische Polynom um: x2+10x-2x-20=0{displaystyle x^{2}+10x-2x-20=0}x^{{2}}+10x-2x-20=0.
    • Bildtitel Solve Polynomials Step 9
    5. Faktor nach Gruppierung. Sie tun dies, indem Sie einen Term faktorisieren, der den ersten beiden Bedingungen im Polynom entspricht.
  • Zum Beispiel die ersten beiden Terme im Polynom x2+10x-2x-20=0{displaystyle x^{2}+10x-2x-20=0}x^{{2}}+10x-2x-20=0 sind x2+10x{displaystyle x^{2}+10x}x^{{2}}+10x. Ein in beiden vorkommender Begriff ist x{displaystyle x}x. Dies wird die aufgelöste Gruppe x(x+10){displaystyle x(x+10)}x(x+10).
    • Bildtitel Solve Polynomials Step 10
    6. Faktorisieren Sie die zweite Gruppe. Sie tun dies, indem Sie einen Term faktorisieren, der in den zweiten beiden Termen des Polynoms vorkommt.
  • Zum Beispiel die zweiten beiden Terme im Polynom x2+10x-2x-20=0{displaystyle x^{2}+10x-2x-20=0}x^{{2}}+10x-2x-20=0 sind -2x-20{displaystyle -2x-20}-2x-20. Ein in beiden vorkommender Begriff ist -2{displaystyle -2}-2. Ebenso die aufgelöste Gruppe -2(x+10){displaystyle -2(x+10)}-2(x+10).
    • Bildtitel Solve Polynomials Step 11
    7. Schreiben Sie das Polynom in zwei Binome um. Ein Binomial ist ein Ausdruck mit zwei Termen. Sie haben bereits ein Binomial, den Ausdruck in Klammern für jede Gruppe. Dieser Ausdruck muss für jede Gruppe gleich sein. Das zweite Binomial wird gebildet, indem die beiden Terme aus jeder Gruppe faktorisiert werden.
  • Zum Beispiel wird nach der Faktorisierung durch Gruppierung . zu x2+10x-2x-20=0{displaystyle x^{2}+10x-2x-20=0}x^{{2}}+10x-2x-20=0 gleicht x(x+10)-2(x+10)=0{displaystyle x(x+10)-2(x+10)=0}x(x+10)-2(x+10)=0.
  • Das erste Binomial ist (x+10){displaystyle (x+10)}(x+10).
  • Das zweite Binomial ist (x-2){displaystyle (x-2)}(x-2).
  • Also das ursprüngliche quadratische Polynom, x2+8x-20=0{displaystyle x^{2}+8x-20=0}x^{{2}}+8x-20=0 kann als faktorisierter Ausdruck geschrieben werden (x+10)(x-2)=0{displaystyle (x+10)(x-2)=0}(x+10)(x-2)=0.
    • Bildtitel Solve Polynomials Step 12
    8. Finden Sie zuerst die Lösung. Sie tun dies, indem Sie lösen x{displaystyle x}x im ersten Binomial.
  • Um zum Beispiel die erste Lösung von zu finden (x+10)(x-2)=0{displaystyle (x+10)(x-2)=0}(x+10)(x-2)=0, setze den ersten binomialen Ausdruck gleich 0{displaystyle 0}{displaystyle 0} und verliere dich x{displaystyle x}x an. Daher:
    x+10=0{displaystyle x+10=0}x+10=0
    x+10-10=0-10{displaystyle x+10-10=0-10}x+10-10=0-10
    x=-10{displaystyle x=-10}x=-10
    Also, die erste Lösung des quadratischen Polynoms x2+8x-20=0{displaystyle x^{2}+8x-20=0}x^{{2}}+8x-20=0 ist -10{displaystyle -10}-10.
    • Bildtitel Solve Polynomials Step 13
    9. Bestimmen Sie die zweite Lösung. Du machst das durch x{displaystyle x}x im zweiten Binomial lösen.
  • Um zum Beispiel die zweite Lösung für zu finden (x+10)(x-2)=0{displaystyle (x+10)(x-2)=0}(x+10)(x-2)=0, setze den zweiten binomialen Ausdruck gleich 0{displaystyle 0}{displaystyle 0} und verliere dich x{displaystyle x}x an. Daher:
    x-2=0{displaystyle x-2=0}x-2=0
    x-2+2=0+2{displaystyle x-2+2=0+2}x-2+2=0+2
    x=2{displaystyle x=2}x=2
    Die zweite Lösung des quadratischen Polynoms ist also x2+8x-20=0{displaystyle x^{2}+8x-20=0}x^{{2}}+8x-20=0 gleicht 2{displaystyle 2}2.

    • Tipps

    • Machen Sie sich keine Sorgen über Variablen wie t oder wenn Sie eine Gleichung haben, die f(x) anstelle von 0 . entspricht. Wenn die Frage Wurzeln, Nullen oder Faktoren sehen möchte, behandeln Sie sie wie jedes andere Problem.
    • Denken Sie bei der Arbeit an die Reihenfolge der Operationen - zuerst die Klammern löschen, dann die Multiplikation und Division durchführen und schließlich die Addition und Subtraktion.

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