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4x = 8 - 2y (4x)/4 = (8/4) - (2y/4) x = 2 - y 
Das wissen Sie jetzt: x = 2 - y. Die zweite Gleichung, die Sie noch nicht geändert haben, lautet: 5x + 3x = 9. Ersetzen Sie in der zweiten Gleichung x durch `2 - ½y`: 5(2 - ½y) + 3y = 9. 
5(2 - ½y) + 3y = 9 10 – (5/2)y + 3y = 9 10 – (5/2)y + (6/2)y = 9 (Wenn Sie diesen Schritt nicht verstehen, lernen Sie wie man Brüche addiert. Dies ist bei dieser Methode oft, aber nicht immer notwendig). 10 + y = 9 y = -1 y = -2 
Das wissen Sie jetzt: y = -2 Eine der ursprünglichen Gleichungen lautet: 4x + 2y = 8. (Beide Gleichungen können für diesen Schritt verwendet werden). -2 statt y einstecken: 4x + 2(-2) = 8. 4x - 4 = 8 4x = 12 x = 3 
Wenn Sie am Ende eine Gleichung ohne Variablen haben und die nicht wahr ist (zum Beispiel 3 = 5), dann hat das Problem keine Lösung. (Wenn Sie die Gleichungen grafisch dargestellt haben, werden Sie sehen, dass sie parallel sind und sich niemals schneiden.). Wenn Sie am Ende eine Gleichung ohne Variablen haben, aber diese Gut ist wahr (zum Beispiel 3 = 3), dann hat das Problem unendlich viele Lösungen. Die beiden Gleichungen sind genau gleich. (Wenn Sie die beiden Gleichungen grafisch darstellen, werden Sie sehen, dass sie sich genau überlappen.). 
Angenommen, Sie haben das Gleichungssystem 3x - y = 3 und -x + 2y = 4. Ändern wir die erste Gleichung so, dass die Variable ja wird beseitigt. (Sie können dies auch tun für x tun und dieselbe Antwort erhalten). Der - y` der ersten Gleichung mit eliminiert werden+ 2 Jahre ` in der zweiten Gleichung. Wir können dies tun, indem - ja mit 2 multiplizieren. Wir multiplizieren beide Seiten der ersten Gleichung wie folgt mit 2: 2(3x - y)=2(3), und somit 6x - 2y = 6. Jetzt wird - 2 Jahre fallen weg gegen die +2 Jahre in der zweiten Gleichung. 
Ihre Gleichungen sind: 6x - 2y = 6 und -x + 2y = 4. Kombinieren Sie die linken Seiten: 6x - 2y - x + 2y = ? Kombinieren Sie die rechten Seiten: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4. 
Du hast: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4. Gruppieren Sie die Variablen x und ja miteinander: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4. Vereinfachen: 5x = 10 Nach x auflösen: (5x)/5 = 10/5, so dass x = 2. 
Du weißt, dass x = 2, und dass eine deiner ursprünglichen Gleichungen 3x - y = 3 ist. Stecken Sie 2 statt x ein: 3(2) - y = 3. Löse nach y in der Gleichung auf: 6 - y = 3 6 - y + y = 3 + y, Also 6 = 3 + y 3 = ja 
Wenn Ihre kombinierte Gleichung keine Variablen hat und nicht wahr ist (z. B. 2 = 7), dann gibt es keine Lösung was für beide Gleichungen gilt. (Wenn Sie beide Gleichungen grafisch darstellen, sehen Sie, dass sie parallel sind und sich niemals schneiden). Wenn Ihre kombinierte Gleichung keine Variablen hat und wahr ist (z. B. 0 = 0), dann gibt es unendlich viele Lösungen. Die beiden Gleichungen sind eigentlich identisch. (Wenn Sie diese in ein Diagramm einfügen, werden Sie sehen, dass sie sich vollständig überlappen.). 
Die erste Gleichung lautet: 2x + y = 5. Ändern Sie dies in: y = -2x + 5. Die zweite Gleichung lautet: -3x + 6y = 0. Ändere dies in 6y = 3x + 0, und vereinfachen zuy = ½x + 0. Sind beide Gleichungen identisch, dann wird die ganze Linie eine `Kreuzung`. Schreiben: unendliche Lösungen. 
Wenn Sie kein Millimeterpapier haben, verwenden Sie ein Lineal, um sicherzustellen, dass die Zahlen gleichmäßig verteilt sind. Wenn Sie große Zahlen oder Dezimalzahlen verwenden, müssen Sie das Diagramm möglicherweise skalieren. (Zum Beispiel 10, 20, 30 oder 0.1, 0.2.0.3 statt 1, 2, 3). 
In den oben genannten Beispielen ist eine Zeile (y = -2x + 5) in der y-Achse 5. Die andere Zeile (y = ½x + 0) geht durch den Nullpunkt 0. (Dies sind die Punkte (0.5) und (0.0) in der Grafik). Markieren Sie jede der Zeilen mit einer anderen Farbe, wenn möglich. 
In unserem Beispiel ist die Regel y = -2x + 5 eine Steigung von -2. Bei x = 1 fällt die Linie um 2 Niedervom Punkt x = 0. Zeichnen Sie das Liniensegment zwischen (0.5) und (1.3). Die Regel y = ½x + 0hat eine Steigung von ½. Bei x = 1 geht die Linie ½ hoch vom Punkt x = 0. Zeichnen Sie das Liniensegment zwischen (0,0) und (1,½). Wenn die Linien die gleiche Steigung haben die Geraden werden sich nie schneiden, daher gibt es keine Lösung für das Gleichungssystem. Schreiben: keine Lösung. 
Wenn sich die Linien aufeinander zu bewegen, werden Sie weiterhin Punkte in diese Richtung zeichnen. Wenn sich die Linien voneinander entfernen, gehen Sie zurück und zeichnen Sie Punkte in die andere Richtung, beginnend bei x = -1. Wenn die Linien nicht nahe beieinander liegen, springen Sie nach vorne und zeichnen Sie weiter entfernte Punkte, z. B. x = 10. 
Gleichungssysteme mit zwei variablen lösen
In einem `Gleichungssystem` müssen Sie zwei oder mehr Gleichungen gleichzeitig lösen. Wenn diese beiden unterschiedliche Variablen wie x und y oder a und b enthalten, kann es auf den ersten Blick schwierig sein, sie zu lösen. Glücklicherweise brauchen Sie, wenn Sie erst einmal wissen, was zu tun ist, nur ein paar grundlegende mathematische Fähigkeiten (und manchmal auch etwas über Brüche), um das Problem zu lösen. Wenn es erforderlich ist oder Sie ein visueller Lerner sind, lernen Sie auch, wie man die Gleichungen grafisch darstellt. Das Zeichnen (Plotten) eines Graphen kann nützlich sein, um zu sehen, was vor sich geht, oder um Ihre Arbeit zu überprüfen, aber es kann auch langsamer sein als die anderen Methoden und funktioniert nicht mit allen Gleichungssystemen.
Schritte
Methode 1 von 3: Verwenden der Substitutionsmethode
1. Verschiebe die Variablen auf verschiedene Seiten der Gleichung. Diese `Substitution`-Methode beginnt mit dem `Auflösen nach x` (oder einer anderen Variablen) in einer der Gleichungen. Wir haben zum Beispiel die folgenden Gleichungen: 4x + 2y = 8 und 5x + 3x = 9. Schauen wir uns zuerst die erste Gleichung an. Ordnen Sie neu an, indem Sie 2y von jeder Seite subtrahieren, und Sie erhalten: 4x = 8 - 2y.
- Diese Methode verwendet oft Brüche zu einem späteren Zeitpunkt. Sie können auch die unten stehende Eliminierungsmethode verwenden, wenn Sie es vorziehen, nicht mit Brüchen zu arbeiten.
2. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung, um `nach x aufzulösen`. Sobald Sie den Term x (oder eine beliebige Variable, die Sie verwenden) auf einer Seite der Gleichung haben, teilen Sie beide Seiten der Gleichung, um die Variable zu isolieren. Zum Beispiel:
3. Setze das wieder in die andere Gleichung ein. Stellen Sie sicher, dass Sie zum . zurückkehren Andere Vergleich, nicht der, den du bereits benutzt hast. In dieser Gleichung ersetzen Sie die Variable, die Sie gelöst haben, sodass nur noch eine Variable übrig ist. Zum Beispiel:
4. Nach der verbleibenden Variablen auflösen. Sie haben jetzt eine Gleichung mit nur einer Variablen. Verwenden Sie gängige Algebra-Techniken, um diese Variable zu lösen. Wenn sich die Variablen gegenseitig aufheben, fahren Sie mit dem letzten Schritt fort. Andernfalls erhalten Sie eine Antwort auf eine Ihrer Variablen:
5. Verwenden Sie die Antwort, um nach der anderen Variablen aufzulösen. Mach nicht den Fehler, das Problem auf halbem Weg zu beenden. Sie müssen die erhaltene Antwort erneut in eine der ursprünglichen Gleichungen eingeben, damit Sie nach der anderen Variablen auflösen können:
6. Wissen, was zu tun ist, wenn sich beide Variablen gegenseitig aufheben. Wenn du x = 3y + 2 oder eine ähnliche Antwort in der anderen Gleichung erhält, dann versucht man eine Gleichung mit nur einer Variablen zu erhalten. Manchmal endet man stattdessen mit einer Gleichung ohne Variablen. Überprüfen Sie Ihre Arbeit noch einmal und stellen Sie sicher, dass Sie die (umgestellte) erste Gleichung in die zweite Gleichung einsetzen, nicht in die erste Gleichung. Wenn Sie sicher sind, dass Sie keine Fehler gemacht haben, erhalten Sie eines der folgenden Ergebnisse:
Methode 2 von 3: Verwenden der Eliminationsmethode
1. Bestimmt die zu eliminierende Variable. Manchmal "eliminieren" sich die Gleichungen in einer Variablen, sobald Sie sie zusammenzählen. Zum Beispiel, wenn Sie die Gleichungen 3x + 2y = 11 und 5x - 2y = 13 kombiniert, eliminieren sich `+2y` und `-2y`, mit allen `ys werden aus der Gleichung entfernt. Sehen Sie sich die Gleichungen in Ihrem Problem an, um herauszufinden, ob eine der Variablen auf diese Weise eliminiert wird. Wenn keine der Variablen eliminiert wird, lesen Sie den nächsten Schritt, um Ratschläge zu erhalten.
2. Multiplizieren Sie eine Gleichung, um eine Variable zu eliminieren. (Überspringen Sie diesen Schritt, wenn sich die Variablen bereits gegenseitig eliminiert haben). Wenn keine der Variablen in den Gleichungen von selbst eliminiert wird, müssen Sie eine der Gleichungen ändern, damit sie es tun. Am einfachsten ist dies an einem Beispiel zu verstehen:
3. Kombiniere die beiden Gleichungen. Um zwei Gleichungen zu kombinieren, addieren Sie die linke und rechte Seite zusammen. Wenn Sie die Gleichung richtig geschrieben haben, sollte sich eine der Variablen gegen die andere aufheben. Hier ist ein Beispiel mit denselben Gleichungen wie im letzten Schritt:
4. Nach der letzten Variablen auflösen. Vereinfachen Sie die kombinierte Gleichung und verwenden Sie dann die grundlegende Algebra, um nach der letzten Variablen aufzulösen. Wenn nach der Vereinfachung keine Variablen mehr vorhanden sind, fahren Sie mit dem letzten Schritt in diesem Abschnitt fort. Andernfalls sollten Sie am Ende eine einfache Antwort auf eine Ihrer Variablen erhalten. Zum Beispiel:
5. Nach den anderen Variablen auflösen. Du hast eine Variable gefunden, bist aber noch nicht ganz fertig. Ersetzen Sie Ihre Antwort in eine der ursprünglichen Gleichungen, damit Sie nach der anderen Variablen auflösen können. Zum Beispiel:
6. Wissen, was zu tun ist, wenn sich beide Variablen gegenseitig aufheben. Manchmal führt die Kombination zweier Gleichungen zu einer Gleichung, die keinen Sinn ergibt oder Ihnen nicht hilft, das Problem zu lösen. Überprüfen Sie Ihre Arbeit von Anfang an, aber wenn Sie keinen Fehler gemacht haben, schreiben Sie eine der folgenden Antworten:
Methode 3 von 3: Die Gleichungen grafisch darstellen
1. Verwenden Sie diese Methode nur, wenn angegeben. Wenn Sie keinen Computer oder Grafikrechner verwenden, können viele Gleichungssysteme mit dieser Methode nur näherungsweise gelöst werden. Ihr Lehrer oder Ihr Mathematiklehrbuch bittet Sie möglicherweise, diese Methode zu verwenden, sodass Sie wahrscheinlich mit grafischen Gleichungen wie Linien vertraut sind. Sie können diese Methode auch verwenden, um zu überprüfen, ob Ihre Antworten aus einer der anderen Methoden richtig sind.
- Die Grundidee ist, dass Sie beide Gleichungen grafisch darstellen und den Punkt bestimmen, an dem sie sich schneiden. Die x- und y-Werte an dieser Stelle ergeben den Wert von x und den Wert von y im Gleichungssystem.
2. Löse beide Gleichungen nach y. Halten Sie die beiden Gleichungen getrennt und verwenden Sie Algebra, um jede Gleichung in die Form `y = __x + __` umzuwandeln. Zum Beispiel:
3. Zeichne ein Koordinatensystem. Zeichnen Sie auf einem Millimeterpapier eine vertikale `y-Achse` und eine horizontale `x-Achse`. Beginnen Sie an dem Punkt, an dem sich die Linien schneiden, und beschriften Sie die Zahlen 1, 2, 3, 4 usw. entlang der y-Achse nach oben und entlang der x-Achse wieder rechts. Beschriften Sie die Zahlen -1, -2 usw. entlang der y-Achse und links entlang der x-Achse.
4. Zeichne den y-Achsenabschnitt für jede Gerade. Sobald Sie eine Gleichung in der Form haben y = __x + __ Sie können beginnen, es grafisch darzustellen, indem Sie einen Punkt zeichnen, an dem die Linie die y-Achse schneidet. Dies ist immer ein y-Wert, gleich der letzten Zahl in dieser Gleichung.
5. Verwenden Sie die Neigung, um die Linien weiter zu zeichnen. In der Form y = __x + __, ist die Zahl für das x de Neigung abseits der linie. Jedes Mal, wenn x um eins erhöht wird, erhöht sich der y-Wert um den Wert der Steigung. Verwenden Sie diese Informationen, um den Punkt im Diagramm für jede Linie zu finden, wenn x = 1. (Alternativ ersetze x = 1 für eine beliebige Gleichung und löse nach y auf).
6. Zeichnen Sie die Linien weiter, bis sie sich schneiden. Stoppen Sie und sehen Sie sich Ihr Diagramm an. Wenn sich die Linien bereits gekreuzt haben, fahren Sie mit dem nächsten Schritt fort. Andernfalls treffen Sie eine Entscheidung basierend auf der Funktion der Zeilen:
7. Finde die Antwort am Schnittpunkt der Linien. Sobald sich die beiden Linien schneiden, sind die x- und y-Werte an diesem Punkt die Lösung des Problems. Wenn Sie Glück haben, ist die Antwort eine ganze Zahl. In unseren Beispielen schneiden sich die beiden Linien beispielsweise (2.1) deine Antwort auch x = 2 und y = 1. In einigen Gleichungssystemen schneiden sich die Linien bei einem Wert zwischen zwei ganzen Zahlen, und wenn Ihr Diagramm nicht extrem genau ist, ist es schwierig zu sagen, wo dies ist. Wenn dies der Fall ist, können Sie eine Antwort geben wie: `x liegt zwischen 1 und 2`. Sie können auch die Ersetzungsmethode oder Eliminierungsmethode verwenden, um die genaue Antwort zu finden.
Tipps
- Sie können Ihre Arbeit überprüfen, indem Sie die Antworten wieder in die ursprünglichen Gleichungen einspeisen. Wenn die Gleichungen wahr sind (zum Beispiel 3 = 3), dann ist Ihre Antwort richtig.
- Bei der Eliminationsmethode müssen Sie manchmal eine Gleichung mit einer negativen Zahl multiplizieren, um eine Variable zu eliminieren.
Warnungen
- Diese Methoden können nicht verwendet werden, wenn es sich um eine Potenzzahl wie x . handelt. Für weitere Informationen zu Gleichungen dieses Typs benötigen Sie eine Anleitung zum Faktorisieren von Quadraten mit zwei Variablen.
"Gleichungssysteme mit zwei variablen lösen"
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