Kostenlose Schritt für Schritt Anweisungen 
Kreuzmultiplikation funktioniert nach gemeinsamen algebraischen Prinzipien. Rationale Ausdrücke und andere Brüche können durch Multiplikation der Nenner in gewöhnliche Zahlen umgewandelt werden. Die Kreuzmultiplikation ist im Grunde eine bequeme, abgekürzte Methode, um beide Seiten der Gleichung mit den Nennern der Brüche zu multiplizieren. Glaubst du es nicht? Probieren Sie es aus - Sie werden die gleichen Ergebnisse nach dem Vereinfachen sehen. 
Wenn beispielsweise (x+3)/4 = x/(-2) Ihr ursprünglicher rationaler Ausdruck war, wird er nach der Kreuzmultiplikation gleich -2(x+3) = 4x. Dies kann möglicherweise umgeschrieben werden als -2x - 6 = 4x. 
In unserem Beispiel ist es möglich, beide Seiten der Gleichung durch -2 zu dividieren, was usx+3 = -2x . ergibt. Wenn wir x von beiden Seiten des Gleichheitszeichens subtrahieren, erhalten wir 3 = -3x. Und schließlich teilen wir beide Seiten durch -3 und erhalten -1 = x, oder auch x = -1. Jetzt haben wir x gefunden, um unsere rationale Gleichung zu lösen. 
Manchmal ist das kleinste gemeinsame Vielfache – die kleinste Zahl, die durch jeden der Nenner teilbar ist – sofort ersichtlich. Wenn Ihr Ausdruck beispielsweise wie folgt aussieht x/3 + 1/2 = (3x+1)/6, dann ist leicht zu erkennen, dass lcm durch 3, 2 und 6 teilbar sein muss, also gleich 6. Aber häufiger ist der LCF einer rationalen Gleichung nicht sofort klar. Probieren Sie in diesen Fällen die Vielfachen des größten Nenners aus, bis Sie eine Zahl finden, die die Vielfachen der anderen, kleineren Nenner enthält. Oft ist der LCF ein Produkt von zwei Nennern. Nehmen wir zum Beispiel die Gleichung x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, wobei lcm gleich 8*9 = 72 . ist. Wenn einer oder mehrere der Nenner eine Variable enthalten, ist dieser Vorgang etwas schwieriger, aber sicherlich nicht unmöglich. In diesen Fällen ist die LCF ein Ausdruck (mit Variablen), in den alle Nenner vollständig passen, nicht nur eine einzelne Zahl. Als Beispiel die Gleichung 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x), wobei der lcg gleich 3x(x-1) ist, da er durch jeden Nenner vollständig teilbar ist – dividiert durch (x- 1 ) ergibt 3x, Division durch 3x ergibt (x-1) und Division durch x ergibt 3(x-1). 
In unserem Beispiel können wir x/3 mit 2/2 multiplizieren, um 2x/6 zu erhalten, und 1/2 mit 3/3 multiplizieren, um 3/6 . zu erhalten. 3x +1/6 hat bereits eine 6 (LCM) als Nenner, also können wir es mit 1/1 multiplizieren oder einfach in Ruhe lassen. In unserem Beispiel mit Variablen im Nenner ist der ganze Vorgang etwas komplizierter. Da lcc gleich 3x(x-1) ist, multiplizieren wir jeden rationalen Ausdruck mit einem Bruch, der 3x(x-1) als Nenner ergibt. Wir multiplizieren 5/(x-1) mit (3x)/(3x) und das ergibt 5(3x)/(3x)(x-1), wir multiplizieren 1/x mit 3(x-1)/3(x -1) und das ergibt 3(x-1)/3x(x-1) und wir multiplizieren 2/(3x) mit (x-1)/(x-1) und das ergibt schließlich 2(x-1)/ 3x(x-1). 
In unserem Beispiel erhalten wir nach der Multiplikation durch Einsatz von 1 als Bruch 2x/6 + 3/6 = (3x+1)/6. Zwei Brüche können addiert werden, wenn sie den gleichen Nenner haben, also können wir diese Gleichung als (2x+3)/6 = (3x+1)/6 schreiben, ohne ihren Wert zu ändern. Multiplizieren Sie beide Seiten mit 6, um die Nenner zu eliminieren, so dass wir 2x+3 = 3x+1 . haben. Ziehen Sie hier 1 von beiden Seiten ab, um 2x+2 = 3x zu erhalten, und subtrahieren Sie 2x von beiden Seiten, um 2 = x zu erhalten, was dann auch als x = 2 . geschrieben werden kann. In unserem Beispiel mit Variablen im Nenner ist die Gleichung nach der Multiplikation jedes Termes mit "1" gleich 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)/3x(x-1). Die Multiplikation jedes Termes mit lcm macht es möglich, die Nenner zu eliminieren, was uns 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) ergibt. Dies wird weiter ausgeführt als 15x = 3x - 3 + 2x -2, was wiederum vereinfacht werden kann als 15x = x - 5. Das Subtrahieren von x von beiden Seiten ergibt 14x = -5, was die endgültige Antwort auf x = -5/14 . vereinfachen kann.
Gleichungen mit brüchen lösen
Eine rationale Funktion ist ein Bruch mit einer oder mehreren Variablen im Zähler oder Nenner. Eine rationale Gleichung ist jede Gleichung, die mindestens einen rationalen Ausdruck enthält. Wie reguläre algebraische Gleichungen können rationale Ausdrücke gelöst werden, indem dieselbe Operation auf beide Seiten der Gleichung angewendet wird, bis die Variable auf einer Seite des Gleichheitszeichens isoliert ist. Zwei spezielle Methoden, die Kreuzmultiplikation und das Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, sind besonders nützlich, um Variablen zu isolieren und rationale Gleichungen zu lösen.
Schritte
Methode 1 von 2: Methode 1: Kreuzmultiplikation
1. Ordnen Sie die Gleichung bei Bedarf neu an, um sicherzustellen, dass auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens ein Bruch vorhanden ist. Kreuzmultiplikation ist eine schnelle Methode zum Lösen rationaler Gleichungen. Leider funktioniert diese Methode nur für rationale Gleichungen, die auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens genau einen rationalen Ausdruck oder Bruch haben. Wenn dies in Ihrer Gleichung nicht der Fall ist, benötigen Sie wahrscheinlich einige algebraische Operationen, um die Terme an die richtige Stelle zu bringen. Manche rationalen Gleichungen lassen sich nicht so einfach in die richtige Form umwandeln. Verwenden Sie in diesen Fällen die Methoden, die das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner verwenden.
- Zum Beispiel kann die Gleichung (x + 3)/4 - x/(-2) = 0 leicht in die richtige Form für die Kreuzmultiplikation umgewandelt werden, indem x/(-2) zu beiden Seiten der Gleichung addiert wird sieht so aus: (x + 3)/4 = x/(-2).
- Denken Sie daran, dass Dezimal- und Ganzzahlen in Brüche umgewandelt werden können, indem Sie sie als Nenner 1 . angeben. (x + 3)/4 - 2.5 = 5, kann zum Beispiel umgeschrieben werden als (x + 3)/4 = 7.5/1, wodurch die Kreuzmultiplikation angewendet werden kann.
2. Kreuzmultiplizieren. Kreuzmultiplikation bedeutet einfach, den Zähler des einen Bruchs mit dem Nenner des anderen zu multiplizieren und umgekehrt. Multipliziere den Zähler des Bruchs links vom Gleichheitszeichen mit dem Bruch rechts. Wiederholen Sie dies mit dem Zähler rechts und dem Nenner des Bruchs links.
3. Machen Sie die beiden Produkte einander gleich. Nach der Kreuzmultiplikation bleiben Ihnen zwei Produkte. Machen Sie diese beiden Terme gleich und vereinfachen Sie sie, um die einfachsten Terme auf beiden Seiten der Gleichung zu belassen.
4. Nach der Variablen auflösen. Verwenden Sie algebraische Operationen, um den Wert der Variablen in der Gleichung zu finden. Denken Sie daran, dass Sie, wenn x auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens erscheint, einen x-Term addieren oder subtrahieren müssen, um sicherzustellen, dass sich nur x-Terme auf einer Seite des Gleichheitszeichens befinden.
Methode 2 von 2: Methode 2: Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) der Nenner
1. Versuchen Sie zu sehen, wann es offensichtlich ist, das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner zu finden. Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Nenner kann zur Vereinfachung rationaler Gleichungen verwendet werden, wodurch es möglich ist, die Werte ihrer Variablen zu finden. Das Finden einer LCF ist eine gute Idee, wenn die rationale Gleichung nicht einfach in eine Form umgeschrieben werden kann, in der es nur einen Bruch oder einen rationalen Ausdruck auf jeder Seite des Gleichheitszeichens gibt. Um rationale Gleichungen mit drei oder mehr Termen zu lösen, sind LCFs ein nützliches Werkzeug. Aber um rationale Gleichungen mit nur zwei Termen zu lösen, ist die Kreuzmultiplikation oft schneller.
2. Untersuche den Nenner jedes Bruchs. Finden Sie die kleinste Zahl, die durch einen beliebigen Nenner teilbar ist. Dies ist das kgv Ihrer Gleichung.
3. Multiplizieren Sie jeden Bruch in der rationalen Gleichung mit 1. Einen Begriff mit 1 zu multiplizieren mag sinnlos erscheinen, aber hier gibt es einen Trick. 1 kann als Bruch geschrieben werden – z.B. 2/2 und 3/3. Multiplizieren Sie jeden Bruch in Ihrer rationalen Gleichung mit 1, indem Sie jedes Mal 1 schreiben, wenn die Zahl oder der Term mit jedem Nenner multipliziert wird, um die LCF als Bruch darzustellen.
4. Vereinfache und löse nach x. Da nun jeder Term in Ihrer rationalen Gleichung denselben Nenner hat, ist es möglich, die Nenner aus der Gleichung zu entfernen und nach den Zählern aufzulösen. Multiplizieren Sie einfach beide Seiten der Gleichung mit lcg, um die Nenner zu eliminieren, sodass nur die Zähler übrig bleiben. Jetzt ist es eine reguläre Gleichung geworden, die Sie nach der Variablen auflösen können, indem Sie sie auf einer Seite des Gleichheitszeichens isolieren.
Tipps
- Sobald Sie den Wert der Variablen gefunden haben, überprüfen Sie Ihre Antwort, indem Sie diesen Wert in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Sobald Sie den Wert der Variablen richtig gemacht haben, sollten Sie in der Lage sein, die Gleichung zu einem einfachen, gültigen Satz zu vereinfachen, z. B. 1 = 1.
- Jede Gleichung kann als rationaler Ausdruck geschrieben werden; setze es einfach als Zähler über den Nenner 1. Die Gleichung x+3 kann also als (x+3)/1 geschrieben werden, beide haben den gleichen Wert.
"Gleichungen mit brüchen lösen"
Оцените, пожалуйста статью
