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Es gibt 4 grundlegende trigonometrische Gleichungen: sinx = a; cos x = a tan x = a; Kinderbett x = a Das Lösen der trigonometrischen Grundgleichungen erfolgt durch Studieren der verschiedenen Positionen der Kurve x auf dem trigonometrischen Kreis und unter Verwendung einer trigonometrischen Umrechnungstabelle (oder eines Taschenrechners). Um vollständig zu verstehen, wie diese und ähnliche trigonometrische Grundgleichungen gelöst werden, lesen Sie das folgende Buch:"Trigonometrie: Trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen lösen" (Amazon-Ebook 2010). Beispiel 1. Auflösen nach sin x = 0,866. Die Umrechnungstabelle (oder der Taschenrechner) gibt die Antwort: x = Pi/3. Der trigonometrische Kreis ergibt eine weitere Kurve (2Pi/3) mit dem gleichen Wert für den Sinus (0,866). Der trigonometrische Kreis gibt auch unendlich viele Antworten, die erweiterten Antworten genannt werden. x1 = Pi/3 + 2k.Pi und x2 = 2Pi/3.(Antworten innerhalb eines Zeitraums (0, 2Pi)) x1 = Pi/3 + 2k Pi und x2 = 2Pi/3 + 2k Pi.(Ausführliche Antworten). Beispiel 2. Lösen Sie: cos x = -1/2. Rechner geben x = 2 Pi/3. Der trigonometrische Kreis ergibt auch x = -2Pi/3. x1 = 2Pi/3 + 2k.Pi und x2 = - 2Pi/3.(Antworten für Punkt (0, 2Pi)) x1 = 2Pi/3 + 2kPi und x2 = -2Pi/3 + 2k.Pi.(Ausführliche Antworten) Beispiel 3. Lösen Sie: tan (x - Pi/4) = 0. x = Pi/4 ;(Antwort) x = Pi/4 + k Pi;(Erweiterte Antwort) Beispiel 4. Löse: Kinderbett 2x = 1.732. Taschenrechner und der trigonometrische Kreis geben: x = Pi/12 ;(Antwort) x = Pi/12 + k Pi ;(Ausführliche Antworten) 
Um eine gegebene trigonometrische Gleichung in trigonometrische Standardgleichungen umzuwandeln, verwenden Sie standardmäßige algebraische Konvertierungen (faktorisieren, gemeinsamer Faktor, Polynome...), Definitionen und Eigenschaften trigonometrischer Funktionen und trigonometrischer Identitäten. Es gibt ungefähr 31, von denen 14 trigonometrische Identitäten sind, von 19 bis 31, auch Detransformationsidentitäten genannt, da sie bei der Umwandlung trigonometrischer Gleichungen verwendet werden. Siehe das obige Buch. Beispiel 5: Die trigonometrische Gleichung: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 kann mit trigonometrischen Identitäten in ein Produkt trigonometrischer Grundgleichungen umgewandelt werden: 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Die zu lösenden trigonometrischen Grundgleichungen sind: cos x = 0 ; sin(3x/2) = 0 ; und cos(x/2) = 0. 
Bevor Sie lernen, trigonometrische Gleichungen zu lösen, müssen Sie wissen, wie Sie schnell die Kurven finden, deren trigonometrische Funktionen bekannt sind. Umrechnungswerte von Kurven (oder Winkeln) können mit trigonometrischen Tabellen oder dem Taschenrechner ermittelt werden. Beispiel: Auflösen nach cos x = 0.732. Der Rechner gibt die Lösung x = 42,95 Grad. Der Einheitskreis ergibt andere Kurven mit dem gleichen Wert für den Kosinus. 
Sie können eine Grafik erstellen, um die Lösung des Einheitskreises zu veranschaulichen. Die Endpunkte dieser Kurven bestehen aus gewöhnlichen Polygonen auf dem trigonometrischen Kreis. Einige Beispiele: Die Endpunkte der Kurve x = Pi/3 + k.Pi/2 ist ein Quadrat auf dem Einheitskreis. Die Kurven von x = Pi/4 + k.Pi/3 werden durch die Koordinaten eines Sechsecks auf dem Einheitskreis dargestellt. 
Wenn die gegebene trigonometrische Gleichung nur eine trigonometrische Funktion enthält, lösen Sie sie als trigonometrische Standardgleichung. Wenn die gegebene Gleichung zwei oder mehr trigonometrische Funktionen enthält, dann gibt es 2 Lösungsmethoden, abhängig von den Optionen zur Umrechnung der Gleichung. ein.Methode 1. Wandeln Sie die trigonometrische Gleichung in ein Produkt der Form um: f(x).g(x) = 0 oder f(x).g(x).h(x) = 0, wobei f(x), g(x) und h(x) trigonometrische Grundgleichungen sind. Beispiel 6. Lösen Sie: 2cos x + sin 2x = 0.(0 < x < 2Pi) Lösung. Ersetzen Sie sin 2x in der Gleichung durch die Identität: sin 2x = 2*sin x*cos x. cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*( sin x + 1)= 0. Dann lösen Sie 2 trigonometrische Standardfunktionen: cos x = 0 und (sin x + 1) = 0. Beispiel 7. Löse: cos x + cos 2x + cos 3x = 0.(0 < x < 2Pi) Lösung: Wandeln Sie dies in ein Produkt um, indem Sie die trigonometrischen Identitäten verwenden: cos 2x(2cos x + 1 ) = 0. Lösen Sie nun die 2 trigonometrischen Grundgleichungen: cos 2x = 0 und (2cos x + 1) = 0. Beispiel 8. Lösen Sie: sin x - sin 3x = cos 2x.(0 < x < 2Pi) Lösung: Wandeln Sie dies in ein Produkt um, indem Sie die trigonometrischen Identitäten verwenden: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Lösen Sie nun die 2 trigonometrischen Grundgleichungen: cos 2x = 0 und (2sin x + 1) = 0. B.Ansatz 2. Wandeln Sie die trigonometrische Gleichung in eine trigonometrische Gleichung mit nur einer einzigen trigonometrischen Funktion als Variable um. Es gibt einige Tipps zur Auswahl einer geeigneten Variablen. Gemeinsame Variablen sind: sin x = t; cosx = t; cos 2x = t, tan x = t und tan (x/2) = t. Beispiel 9. Lösen Sie: 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7(0 < x < 2Pi). Lösung. Ersetzen Sie in der Gleichung (cos^2 x) durch (1 - sin^2 x) und vereinfachen Sie die Gleichung: 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Verwenden Sie nun sin x = t. Die Gleichung wird: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Dies ist eine quadratische Gleichung mit 2 Wurzeln: t1 = -1 und t2 = 9/5. Wir können das zweite t2 ablehnen, weil > 1. Jetzt auflösen nach: t = sin = -1 --> x = 3Pi/2. Beispiel 10. Löse: tan x + 2 tan^2 x = Kinderbett x + 2. Lösung. Verwenden Sie tan x = t. Wandeln Sie die gegebene Gleichung in eine Gleichung mit t als Variable um: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Lösen Sie von diesem Produkt nach t auf und lösen Sie dann die trigonometrische Standardgleichung tan x = t für x. 
Es gibt einige spezielle trigonometrische Gleichungen, die bestimmte Umrechnungen erfordern. Beispiele: a*sin x+ b*cos x = c ; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c ; a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0 
Alle trigonometrischen Funktionen sind periodisch, d. h. sie kehren nach einer Drehung über einen Zeitraum auf denselben Wert zurück. Beispiele: Die Funktion f(x) = sin x hat 2Pi als Periode. Die Funktion f(x) = tan x hat Pi als Periode. Die Funktion f(x) = sin 2x hat Pi als Periode. Die Funktion f(x) = cos (x/2) hat 4Pi als Periode. Wenn der Zeitraum in den Übungen/Tests angegeben ist, müssen Sie nur die Kurve(n) x innerhalb dieses Zeitraums finden. ACHTUNG: Das Lösen trigonometrischer Gleichungen ist knifflig und führt oft zu Fehlern. Daher sollten die Antworten sorgfältig geprüft werden. Nach dem Lösen können Sie die Antworten mit einem Grafikrechner überprüfen, um eine direkte Darstellung der gegebenen trigonometrischen Gleichung R(x) = 0 . zu erhalten. Die Antworten (als Quadratwurzel) werden in Dezimalzahlen angegeben. Als Beispiel hat Pi einen Wert von 3,14
Lösen trigonometrischer gleichungen
Eine trigonometrische Gleichung ist eine Gleichung mit einer oder mehreren trigonometrischen Funktionen der variablen trigonometrischen Kurve x. Nach x aufzulösen bedeutet, die Werte der trigonometrischen Kurven zu finden, deren trigonometrische Funktionen die trigonometrische Gleichung wahr machen.
- Antworten oder Werte der Lösungskurven werden in Grad oder Bogenmaß ausgedrückt. Beispiele:
x = Pi/3 ; x = 5Pi/6; x = 3Pi/2 ; x = 45 Grad; x = 37,12 Grad; x = 178,37 Grad
- Hinweis: Auf dem Einheitskreis sind die trigonometrischen Funktionen jeder Kurve gleich den trigonometrischen Funktionen des entsprechenden Winkels. Der Einheitskreis definiert alle trigonometrischen Funktionen der variablen Kurve x. Es wird auch als Beweis beim Lösen grundlegender trigonometrischer Gleichungen und Ungleichungen verwendet.
- Beispiele für trigonometrische Gleichungen:
- sin x + sin 2x = 1/2;tan x + Kinderbett x = 1.732;
- cos 3x + sin 2x = cos x 2sin 2x + cos x = 1 .
- Der Einheitskreis.
- Dies ist ein Kreis mit Radius = 1, wobei O der Ursprung ist. Der Einheitskreis definiert 4 trigonometrische Hauptfunktionen der variablen Kurve x, die ihn gegen den Uhrzeigersinn umkreist.
- Wenn die Kurve mit dem Wert x auf dem Einheitskreis variiert, dann gilt:
- Die horizontale Achse OAx definiert die trigonometrische Funktion f(x) = cos x.
- Die vertikale Achse OBy definiert die trigonometrische Funktion f(x) = sin x.
- Die vertikale Achse AT definiert die trigonometrische Funktion f(x) = tan x.
- Die horizontale Achse BU definiert die trigonometrische Funktion f(x) = cot x.
- Der Einheitskreis wird auch verwendet, um grundlegende trigonometrische Gleichungen und trigonometrische Standardungleichungen zu lösen, indem die verschiedenen Positionen der Kurve x auf dem Kreis berücksichtigt werden.
Schritte
1. Verstehen Sie die Lösungsmethode.
- Um eine trigonometrische Gleichung zu lösen, wandeln Sie sie in eine oder mehrere grundlegende trigonometrische Gleichungen um. Das Lösen trigonometrischer Gleichungen führt schließlich zur Lösung von 4 grundlegenden trigonometrischen Gleichungen.
2. Wissen, wie man grundlegende trigonometrische Gleichungen löst.
3. Lernen Sie die Transformationen kennen, die beim Lösen trigonometrischer Gleichungen verwendet werden.
4. Finden Sie die Kurven, deren trigonometrische Funktionen bekannt sind.
5. Zeichne den Bogen der Antwort auf den Einheitskreis.
6. Erfahren Sie, wie Sie trigonometrische Gleichungen lösen.
7. Lösen Sie spezielle trigonometrische Gleichungen.
8. Lernen Sie die periodischen Eigenschaften trigonometrischer Funktionen.
"Lösen trigonometrischer gleichungen"
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