Kostenlose Schritt für Schritt Anweisungen 
In unserem Beispiel nehmen wir die Quadratwurzeln von 25 und 16. Siehe unten: Quadrat (25×16) Quadrat(25) × Quadrat(16) 5 × 4 = 20 
Nehmen wir als Beispiel die Quadratwurzel von 147. 147 ist nicht das Produkt zweier perfekter Quadrate, daher können wir keinen schönen ganzzahligen Wert erhalten. Aber es ist das Produkt eines perfekten Quadrats und einer anderen Zahl - 49 und 3. Wir können diese Informationen verwenden, um unsere Antwort in den einfachsten Worten zu schreiben: Quadrat(147) = Quadrat (49 × 3) = Quadrat(49) × Quadrat(3) = 7 × Quadrat(3) 
Kehren wir zu unserem Beispiel zurück. Da 2 = 4 und 1 = 1 ist, wissen wir, dass Sqrt(3) zwischen 1 und 2 liegt – wahrscheinlich näher an 2 als 1. Wir schätzen, dass 1,7. 7 × 1,7 = 11,9. Wenn wir dies mit dem Taschenrechner überprüfen, sehen wir, dass wir der Antwort ziemlich nahe sind: 12.13. Dies funktioniert auch für die größeren Zahlen. Zum Beispiel liegt Sqrt(35) ungefähr zwischen 5 und 6 (wahrscheinlich näher an 6). 5 = 25 und 6 = 36. 35 liegt zwischen 25 und 36, die Quadratwurzel liegt also zwischen 5 und 6. Da 35 knapp unter 36 liegt, können wir mit einiger Sicherheit sagen, dass seine Quadratwurzel einfach ist niedriger als 6. Die Überprüfung mit einem Taschenrechner gibt uns eine Antwort von ungefähr 5,92 - wir hatten Recht. 
Ein Beispiel: Mit dieser Methode bestimmen wir die Quadratwurzel aus 45. Wir wissen, dass 45 = 9 × 5 und 9 = 3 × 3. Also können wir die Quadratwurzel wie folgt schreiben: Sqrt(3 × 3 × 5). Entfernen Sie einfach die 3er und platzieren Sie eine 3 außerhalb des Radikals, um eine vereinfachte Quadratwurzel zu erhalten: (3)Quadrat (5). Jetzt können Sie ganz einfach schätzen. Ein letztes Beispiel; Wir bestimmen die Quadratwurzel von 88: Quadrat (88) = Quadrat (2 × 44) = Quadrat (2 × 4 × 11) = Quadrat (2 × 2 × 2 × 11). Wir haben mehrere 2er in unserer Quadratwurzel. Da 2 eine Primzahl ist, können wir ein Paar entfernen und eine 2 außerhalb der Quadratwurzel platzieren. = Unsere Quadratwurzel in einfachsten Worten ist (2) Sqrt(2 × 11) oder (2) Quadrat (2) Quadrat (11). Jetzt können wir uns Sqrt(2) und Sqrt(11) nähern und eine geschätzte Antwort finden, wenn wir wollten. 
In unserem Beispiel ist die Ziffer ganz links die Zahl 7. Weil wir wissen, dass 2 = 4 7 < 3 = 9, können wir sagen, dass n = 2 ist, weil es die größte ganze Zahl ist, deren Quadrat kleiner oder gleich 7 . ist. Schreiben Sie 2 in den oberen rechten Quadranten. Dies ist die erste Ziffer der Antwort. Schreiben Sie 4 (das Quadrat von 2) in den unteren rechten Quadranten. Diese Nummer ist wichtig für den nächsten Schritt. 
In unserem Beispiel schreiben wir eine 4 unter 7 und ziehen sie ab. Das gibt 3 als antwort. 
In unserem Beispiel ist die folgende Zahl "80". Hinweis "80" neben der 3 im linken Quadranten. Dann multipliziere die Zahl oben rechts mit 2. Diese Zahl ist 2, also 2 × 2 = 4. Hinweis "`4"` unten rechts, gefolgt von _×_=. 
In unserem Beispiel geben wir 8 ein und das ergibt 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384. Dies ist größer als 380. Also ist 8 zu groß, aber 7 wahrscheinlich nicht. Geben Sie 7 ein und lösen Sie: 4(7) × 7 = 329. 7 ist gut, weil 329 kleiner als 380 . ist. Hinweis 7 oben rechts. Dies ist die zweite Ziffer der Quadratwurzel von 780,14. 
In unserem Beispiel ziehen wir 329 von 380 ab, und das ergibt 51 als Ergebnis. 
In unserer Antwort schreiben wir jetzt ein Komma, weil uns das auch in 780.14 begegnet. Bewege das nächste Paar (14) im linken Quadranten nach unten. 27 x 2 = 54, also schreiben wir "54 _×_=" im unteren rechten Quadranten. 
In unserem Beispiel 549 × 9 = 4941, was kleiner oder gleich der Zahl auf der linken Seite ist (5114). 549 × 10 = 5490, was zu hoch ist, also ist 9 unsere Antwort. Schreibe 9 als nächste Zahl oben rechts und subtrahiere das Multiplikationsergebnis von der linken Zahl: 5114 -4941 = 173. 
Berechnen sie die quadratwurzel einer zahl ohne taschenrechner
Vor dem Aufkommen der Taschenrechner mussten sowohl Studenten als auch Professoren Quadratwurzeln mit Stift und Papier berechnen. Zu dieser Zeit wurden verschiedene Techniken entwickelt, um diese manchmal schwere Aufgabe zu bewältigen, wobei einige eine grobe Schätzung abgeben und andere den genauen Wert berechnen. Lesen Sie weiter, um zu erfahren, wie Sie in wenigen einfachen Schritten die Quadratwurzel einer Zahl finden.
Schritte
Methode 1 von 2: Rooten mit Primfaktoren
1. Teile deine Zahl in Quadrate. Diese Methode verwendet die Faktoren einer Zahl, um die Quadratwurzel einer Zahl zu finden (je nach Zahl kann dies eine genaue Antwort oder eine Schätzung sein). Der Faktoren einer bestimmten Zahl sind eine zufällige Folge von Zahlen, die miteinander multipliziert werden, um diese bestimmte Zahl zu bilden. Zum Beispiel können Sie sagen, dass die Faktoren von 8 gleich 2 und 4 sind, weil 2 × 4 = 8. Vollkommene Quadrate hingegen sind ganze Zahlen, die das Produkt anderer ganzer Zahlen sind. Zum Beispiel: 25, 36 und 49 sind perfekte Quadrate, weil sie gleich 5, 6 und 7 sind. Zweite Potenzfaktoren sind, wie Sie verstanden haben, Faktoren, die ebenfalls perfekte Quadrate sind. Um eine Quadratwurzel mit Primfaktoren zu finden, versuchen Sie zuerst, die Zahl durch ihre Kubikfaktoren zu teilen.
- Nehmen Sie das folgende Beispiel. Wir finden die Quadratwurzel von 400. Zunächst teilen wir die Zahl in Quadrate auf. Da 400 ein Vielfaches von 100 ist, wissen wir, dass es gerade durch 25 teilbar ist - ein perfektes Quadrat. Schnelles Auswendiglernen sagt uns, dass 400 / 25 = 16. 16 ist zufällig auch ein perfektes Quadrat. Die quadratischen Faktoren von 400 sind also 25 und 16 weil 25 × 16 = 400.
- Wir schreiben dies als: Sqrt(400) = Sqrt(25 × 16)
2. Nimm die Quadratwurzeln deiner Quadratwurzeln. Die Produktregel der Quadratwurzeln besagt, dass für jede gegebene Zahl ein und B, Quadrat (a × b) = Quadrat (a) × Quadrat (b). Aufgrund dieser Eigenschaft können wir nun die Quadratwurzeln der Kubikfaktoren ziehen und sie für die Antwort miteinander multiplizieren.
3. Wenn Ihre Zahl nicht ganz perfekt faktorisiert werden kann, vereinfachen Sie es. In Wirklichkeit sind die Zahlen, für die Sie die Quadratwurzeln finden möchten, keine schönen abgerundeten Zahlen mit schönen Quadratwurzeln wie 400. In diesen Fällen ist es möglicherweise nicht möglich, eine ganze Zahl als Antwort zu erhalten. Stattdessen können Sie mit allen Würfeln, die Sie finden können, die Antwort als kleinere, einfacher zu verwendende Quadratwurzel bestimmen. Sie tun dies, indem Sie die Zahl auf eine Kombination aus Würfelfaktoren und anderen Faktoren reduzieren und dann vereinfachen.
4. Vereinfachen, wenn nötig. Wenn man die Quadratwurzel in den einfachsten Begriffen verwendet, ist es normalerweise ziemlich einfach, eine grobe Schätzung der Antwort zu erhalten, indem man die verbleibenden Quadratwurzeln abschätzt und diese multipliziert. Eine Möglichkeit, Ihre Schätzungen zu verbessern, besteht darin, die perfekten Quadrate auf beiden Seiten der Zahl in Ihrer Quadratwurzel zu finden. Sie wissen, dass der Dezimalwert der Zahl in Ihrer Quadratwurzel irgendwo zwischen diesen beiden Zahlen liegt, also sollte Ihre Schätzung auch zwischen diesen Zahlen liegen.
5. Alternativ können Sie im ersten Schritt die Zahl zu vereinfachenkleinstes gemeinsames Vielfaches. Die Suche nach Quadratfaktoren ist nicht notwendig, wenn Sie die Primfaktoren einer Zahl leicht finden können (Faktoren, die gleichzeitig auch Primzahlen sind). Schreiben Sie die Zahl in Form der kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Dann suche unter deinen Faktoren nach entsprechenden Primzahlenpaaren. Wenn Sie zwei übereinstimmende Primfaktoren finden, entfernen Sie sie aus der Quadratwurzel und setzen Sie ein dieser Zahlen außerhalb des Radikals.
Methode 2 von 2: Quadratwurzeln ohne Taschenrechner finden
Mit einer langen Teilung
1. Teilen Sie die Ziffern Ihrer Nummer in Paare auf. Diese Methode ähnelt der langen Division, mit der Sie genau Finde die Quadratwurzel einer Zahl Ziffer für Ziffer. Obwohl dies nicht unbedingt erforderlich ist, kann das Aufteilen einer Zahl in praktikable Blöcke das Lösen erleichtern, insbesondere wenn sie lang ist. Zeichnen Sie zuerst eine vertikale Linie, die den Arbeitsbereich in 2 Bereiche teilt, dann eine kürzere Linie im oberen Bereich des rechten Bereichs, die ihn in einen kleineren oberen Teil und einen größeren darunter teilt. Dann teilen Sie die Zahl in Zahlenpaare, beginnend mit dem Komma. Nach dieser Regel wird 79520789182.47897 gleich "7 95 20 78 91 82,47 89 70". Schreiben Sie diese Nummer in den oberen linken Bereich.
- Als Beispiel berechnen wir die Quadratwurzel von 780,14. Teilen Sie Ihren Arbeitsbereich wie oben angegeben auf und schreiben Sie auf "7 80, 14" in der oberen linken ecke. Es ist okay, wenn ganz links nur eine Zahl steht, statt zwei. Dann schreibst du die Antwort (die Quadratwurzel von 780,14) oben in den rechten Bereich.
2. Finde die größte ganze Zahl n deren Quadrat kleiner oder gleich der Ziffer oder Zahl ganz links ist. Finden Sie das größte Quadrat, das kleiner oder gleich dieser Zahl ist, und finden Sie dann die Quadratwurzel dieses Quadrats. Diese Nummer ist n. Beachten Sie, dass in den oberen rechten Bereich und schreiben Sie das Quadrat von n in den unteren Quadranten dieses Bereichs.
3. Subtrahiere die berechnete Zahl der Ziffer oder Zahl ganz links. Wie bei der langen Division besteht der nächste Schritt darin, das Quadrat von der Zahl zu subtrahieren, die wir gerade zur Berechnung verwendet haben. Schreibe diese Zahl unter die ganz linke Zahl und ziehe sie voneinander ab. Schreibe die Antwort unten.
4. Verschiebe die nächste Zahl nach unten. Platzieren Sie dies neben dem Wert, den Sie in der vorherigen Bearbeitung gefunden haben. Multipliziere die Zahl oben rechts mit zwei und schreibe sie unten rechts auf. Sparen Sie Platz neben der Zahl, die Sie gerade aufgeschrieben haben, für die Multiplikationssumme, die Sie im nächsten Schritt machen werden. Hier schreiben `"_×_="`.
5. Geben Sie die Zahlen rechts ein. Geben Sie in das leere Feld der Summe (rechts) die größte ganze Zahl ein, die das Ergebnis der Multiplikationssumme rechts kleiner oder gleich der aktuellen Zahl links macht.
6. Subtrahiere die gerade berechnete Zahl von der aktuellen Zahl auf der linken Seite. Du ziehst also das Ergebnis der Multiplikation rechts von der aktuellen Antwort links ab. Schreibe deine Antwort direkt unten.
7. Wiederholen Sie Schritt 4. Verschiebe das nächste Zahlenpaar von 780,14 nach unten. Wenn Sie bei einem Komma ankommen, schreiben Sie dieses Komma in die Antwort rechts. Dann multipliziere die Zahl oben rechts mit 2 und schreibe die Antwort neben ("_ × _") wie oben.
8. Wiederholen Sie die Schritte 5 und 6. Finden Sie die größte Zahl, die eine Antwort kleiner oder gleich der aktuellen Zahl auf der linken Seite ergibt. Lösen.
9. Um ein genaues Ergebnis zu erhalten, wiederholen Sie den vorherigen Vorgang, bis Sie die Antwort mit der erforderlichen Anzahl von Dezimalstellen (Hundertstel, Tausendstel) gefunden haben.
Das Verfahren verstehen
- Beachten Sie, dass der erste Schritt beim Dividieren von 88962 durch 7 mit langer Division derselbe ist: Sie haben es mit der ersten Ziffer von 88962 (8) zu tun und möchten, dass die größte mit 7 multiplizierte Ziffer kleiner oder gleich 8 . ist. Im Wesentlichen entscheidest du D damit 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). In diesem Fall ist d gleich 1.
- In unserem Beispiel (10A+B)² = L = S = 100A² + 2×10A×B + B². Denken Sie daran, dass 10A+B unsere Antwort L zusammen mit B in der Einerstellung und A in der Zehnerstellung darstellt. Wenn beispielsweise A=1 und B=2 ist, dann ist 10A+B die Zahl 12. (10A+B)² ist die Fläche des gesamten Platzes, während 100A² ist die Fläche des größten inneren Quadrats, B² ist die Fläche der kleinsten Quadrate und 10A×B ist die Fläche jedes der verbleibenden Rechtecke. Durch dieses lange, komplizierte Verfahren können wir die Fläche des gesamten Quadrats ermitteln, indem wir die Flächen der Quadrate und Rechtecke addieren, aus denen es besteht.
1. Betrachten Sie die Zahl, deren Quadratwurzel Sie berechnen möchten, als Fläche S eines Quadrats. Da die Fläche eines Quadrats L ist, wobei L die Länge einer seiner Seiten ist, versuchen Sie, die Länge L der Seite dieses Quadrats zu berechnen, indem Sie die Quadratwurzel Ihrer Zahl ziehen.
2. Gib jeder Ziffer deiner Antwort einen Buchstaben. Geben Sie die Variable A als erste Ziffer von L an (die Quadratwurzel, die wir zu berechnen versuchen). B ist die zweite Ziffer, C ist die dritte und so weiter.
3. Gib jedem einen Brief "Zahlenpaar" der Zahl, mit der du anfängst. Geben Sie die Variable S . anein zum ersten Ziffernpaar in S (dem Anfangswert), SB bis zum zweiten Ziffernpaar usw.
4. Verstehen Sie die Beziehung zwischen dieser Methode und der langen Division. Diese Methode zum Finden einer Quadratwurzel ist im Wesentlichen eine lange Division, bei der der Anfangswert durch seine Quadratwurzel geteilt und die Quadratwurzel als Antwort genommen wird "Datum". Wie bei der langen Division, bei der Sie sich jeweils nur für die nächste Ziffer interessieren, interessieren Sie sich jeweils nur für die nächsten beiden Ziffern (die der nächsten Ziffer der Quadratwurzel entsprechen).
5. Finden Sie die größte Zahl, deren Quadrat kleiner oder gleich S . istein ist. Die erste Ziffer A in unserer Antwort ist dann die größte ganze Zahl, deren Quadrat nicht größer ist als Sein (A mit A² ≤ Sa < (A+1)²). In unserem Beispiel ist S . istein = 7 und 2² ≤ 7 < 3², also A = 2.
6. Visualisieren Sie das Quadrat, dessen Fläche Sie ermitteln möchten. Ihre Antwort, die Quadratwurzel des Anfangswerts, ist L und beschreibt die Länge eines Quadrats der Fläche S (der Anfangswert). Die Werte für A, B und C repräsentieren die Zahlen im Wert L. Eine andere Möglichkeit, dies zu sagen, ist, dass für eine zweistellige Antwort 10A + B = L und für eine dreistellige Antwort 100A +10B + C = L usw.
7. Subtrahiere A² von Sein. Bringen Sie ein Zahlenpaar (SB) abwärts von der Zahl S. Sein SB ist fast die Gesamtfläche des Platzes, von der du gerade die Fläche des größten inneren Platzes abgezogen hast. Der Rest ist, sagen wir, die Zahl N1, die wir in Schritt 4 erhalten haben (N1 = 380 in unserem Beispiel). N1 ist gleich 2×10A×B + B² (die Fläche der 2 Rechtecke plus die Fläche des kleinen Quadrats).
8. Betrachten Sie N1 = 2×10A×B + B², auch geschrieben als N1 = (2×10A + B) × B. In unserem Beispiel kennen Sie bereits N1 (380) und A (2), also müssen Sie jetzt B . finden. B ist wahrscheinlich keine ganze Zahl, also brauchst du eigentlich finde die größte ganze Zahl B, so dass (2×10A + B) × B ≤ N1. Jetzt haben Sie also: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).)
9. Löse die Gleichung. Um diese Gleichung zu lösen, multiplizieren Sie A mit 2, verschieben Sie sie in die Zehner (multiplizieren Sie mit 10), setzen Sie B in die Einheiten und multiplizieren Sie das Ergebnis mit B. Mit anderen Worten, (2×10A + B) × B. Genau das tust du, wenn du schreibst "N_×_=" (mit N=2×A) im unteren rechten Quadranten in Schritt 4. In Schritt 5 bestimmen Sie die größte ganze Zahl B, die unter die Linie passt, so dass (2×10A + B) × B ≤ N1.
10. Subtrahiere die Fläche (2×10A + B) × B von der Gesamtfläche. Daraus ergibt sich die Fläche S-(10A+B)², die Sie noch nicht berücksichtigt haben (und mit der Sie die folgenden Zahlen in gleicher Weise berechnen).
11. Um die nächste Ziffer C zu berechnen, wiederholen Sie den Vorgang. Bewege das nächste Zahlenpaar von S nach unten (SC), um links N2 zu erhalten, und suchen Sie nach dem größten C, so dass Sie jetzt haben: (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 (entspricht der doppelten zweistelligen Zahl "A B" gefolgt von "_×_=" . Bestimmen Sie nun die größte Zahl, die Sie hier eingeben können, und erhalten Sie eine Antwort, die kleiner oder gleich N2 . ist.
Tipps
- Verschieben des Dezimalkommas um zwei Stellen (Faktor 100) verschiebt das Dezimalkomma in der entsprechenden Quadratwurzel um eine Stelle (Faktor 10).
- Im Beispiel kann 1,73 betrachtet werden als "Rest": 780,14 = 27,9² + 1,73.
- Diese Methode funktioniert für jedes Zahlensystem, nicht nur für das Dezimalsystem (zehn Dezimal).
- Fühlen Sie sich frei, die Berechnungen zu platzieren, wo Sie möchten. Manche Leute schreiben es über die Zahl, die sie zur Quadratwurzel von berechnen möchten.
- Eine alternative Methode ist die folgende: √z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + ...))). Um beispielsweise die Quadratwurzel von 780,14 zu berechnen, würden Sie die ganze Zahl zum Quadrat nehmen, die 780,14 (28) am nächsten kommt, also =780,14, x=28 und y=-3,86. Das Ausfüllen und Schätzen ergibt x + y/(2x) und dies ergibt (vereinfachte Ausdrücke) 78207/2800 oder ungefähr 27.931(1); der nächste Begriff, 4374188/156607 oder ungefähr 27.930986(5). Jeder Term fügt ungefähr 3 Dezimalstellen der Genauigkeit zum vorherigen hinzu.
Warnungen
- Stellen Sie sicher, dass Sie die Zahl ab dem Dezimalpunkt in Paare aufteilen. Teilen 79520789182.47897 as "79 52 07 89 18 2.4 78 97" liefert ein nicht korrektes Ergebnis.
"Berechnen sie die quadratwurzel einer zahl ohne taschenrechner"
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