Den Umfang eines Trapezes berechnen

Schritte
Tipps
Notwendigkeiten

Ein Trapez ist definiert als ein Viereck mit zwei parallelen Seiten. Wie bei jedem Polygon müssen Sie alle vier Seiten zusammenzählen, um den Umfang eines Trapezes (oder Trapezes) zu finden. Oftmals übersehen Sie jedoch Seitenlängen, aber Sie haben andere Daten, wie die Höhe des Trapezes oder die Winkelmaße. Mit diesen Daten können Sie die unbekannten Längen der Seiten nach den Regeln der Geometrie und Trigonometrie ermitteln.

Schritte

Methode 1 von 3: Wenn Sie die Länge beider Seiten und der Basis kennen

Finden Sie den Umfang eines Trapezes Schritt 1

1. Setze die Formel für den Umfang eines Trapezes. Die Formel lautet

P = T + B + l + R

${displaystyle P=T+B+L+R}$ , wodurch

P

$P$ gleich dem Umfang des Trapezes ist und die Variable

T

${displaystyle T}$ gleich der Länge der Oberseite des Trapezes,

B

$B$ entspricht der Länge des Bodens,

l

${displaystyle L}$ gleich der Länge der linken Seite und

R

${displaystyle R}$ entspricht der Länge der rechten Seite.

Finden Sie den Umfang eines Trapezes Schritt 2

2. Verwenden Sie die Seitenlängen in der Formel. Wenn Sie die Länge aller vier Seiten des Trapezes nicht kennen, können Sie diese Formel nicht verwenden.

Wenn Sie beispielsweise ein Trapez mit einer Oberseite von 2 cm, einer Unterseite von 3 cm und zwei Seitenlängen von 1 cm haben, würde Ihre Formel so aussehen:

P = 2 + 3 + 1 + 1

${displaystyle P=2+3+1+1}$

Finden Sie den Umfang eines Trapezes Schritt 3

3. Die Seitenlängen zusammenzählen. Dadurch erhalten Sie den Umfang Ihres Trapezes.

Zum Beispiel:

P = 2 + 3 + 1 + 1

${displaystyle P=2+3+1+1}$

P = 7

${displaystyle P=7}$
Der Umfang des Trapezes beträgt also 7 cm.

Methode 2 von 3: Wenn Sie die Höhe, beide Seitenlängen und die Spitzenlänge kennen

Find the Perimeter of a Trapezoid Step 4

1. Teilen Sie das Trapez in ein Rechteck und zwei rechtwinklige Dreiecke. Zeichnen Sie dazu die Höhe von beiden oberen Ecken.

Wenn Sie die beiden rechtwinkligen Dreiecke nicht bilden können, weil eine Seite des Trapezes senkrecht zur Grundfläche steht, stellen Sie sicher, dass diese Seite die gleiche Länge wie die Höhe hat, und teilen Sie das Trapez in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck auf.

Find the Perimeter of a Trapezoid Step 5

2. Geben Sie die Länge jeder Konturlinie an. Da dies die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks sind, haben sie die gleiche Länge.

Wenn Sie beispielsweise ein Trapez mit einer Höhe von 6 cm haben, müssen Sie von jedem oberen Scheitelpunkt nach unten eine Linie ziehen. Beachten Sie 6 cm für jede Zeile.

Find the Perimeter of a Trapezoid Step 6

3. Beachten Sie die Länge des mittleren Teils des Bodens. (Dies ist der untere Rand des Rechtecks.) Die Länge ist gleich der Länge der Oberseite (der Oberseite des Rechtecks), da die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks die gleiche Länge haben. Wenn Sie die Länge des Oberteils nicht kennen, können Sie diese Methode nicht verwenden.

Wenn zum Beispiel die Oberseite des Trapezes 6 cm beträgt, ist der mittlere Teil der Unterseite ebenfalls 6 cm² groß.

Bildtitel Find the Perimeter of a Trapezoid Step 7

4. Stellen Sie den Satz des Pythagoras für das erste rechtwinklige Dreieck auf. Die Formel lautet

ein 2 + B^{2} = C^{2}

$a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , wodurch

C

$C$ ist die Länge der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks (der Seite gegenüber dem rechten Winkel),

ein

$ein$ ist die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks und

B

$B$ ist die Länge der Basis des Dreiecks.

Find the Perimeter of a Trapezoid Step 8

5. Verwenden Sie die bekannten Werte des ersten Dreiecks in der Formel. Achten Sie darauf, die Seitenlänge des Trapezes für . einzugeben

C

$C$ . Geben Sie die Höhe des Trapezes für . ein

ein

$ein$ .

Wenn Sie beispielsweise wissen, dass die Höhe des Trapezes 6 cm beträgt und die Länge der Seite (Hypotenuse) 9 cm beträgt, würde Ihre Gleichung wie folgt aussehen:

62 + B^{2} = 9^{2}

${displaystyle 6^{2}+b^{2}=9^{2}}$

Find the Perimeter of a Trapezoid Step 9

6. Quadrieren Sie die bekannten Werte in der Gleichung. Ziehen Sie dann die quadrierten Werte voneinander ab, um zu erhalten

B

$B$ isolieren.

Zum Beispiel: ist die Gleichung

62 + B^{2} = 9^{2}

${displaystyle 6^{2}+b^{2}=9^{2}}$ , dann quadrieren Sie 6 und 9 und subtrahieren das Quadrat von 6 vom Quadrat von 9:

62 + B^{2} = 9^{2}

${displaystyle 6^{2}+b^{2}=9^{2}}$

36 + B 2 = 81

${displaystyle 36+b^{2}=81}$

B 2 = 45

${displaystyle b^{2}=45}$

Bildtitel Find the Perimeter of a Trapezoid Step 10

7. Ziehe die Quadratwurzel, um den Wert von zu erhalten B{displaystyle b} $B$ finden. (Eine vollständige Anleitung zum Vereinfachen von Quadratwurzeln finden Sie unter dieser Artikel zum Thema). Als Ergebnis erhalten Sie den Wert der fehlenden Basis Ihres ersten rechtwinkligen Dreiecks. Schreiben Sie diese Länge an die Basis Ihres Dreiecks.

Zum Beispiel:

B 2 = 45

${displaystyle b^{2}=45}$

B = \sqrt{45}

${displaystyle b={sqrt {45}}}$

B = \sqrt{45}

${displaystyle b={sqrt {45}}}$

B = 3 \sqrt{5}

${displaystyle b=3{sqrt {5}}}$
Also aufpassen

3 \sqrt{5}

${displaystyle 3{sqrt {5}}}$ als Basis des ersten Dreiecks.

Bildtitel Find the Perimeter of a Trapezoid Step 11

8. Finden Sie die fehlende Länge des zweiten rechtwinkligen Dreiecks. Stellen Sie dazu den Satz des Pythagoras für das zweite Dreieck auf und folgen Sie den Schritten, um die Länge der fehlenden Seite zu finden. Wenn Sie mit einem gleichschenkligen Trapez arbeiten (dasjenige, bei dem die beiden nicht parallelen Seiten die gleiche Länge haben), dann sind die beiden rechtwinkligen Dreiecke deckungsgleich, sodass der Wert des ersten Dreiecks gleich dem des zweiten Dreiecks ist.

Wenn die zweite Seite des Trapezes beispielsweise 7 cm beträgt, berechnen Sie wie folgt:

ein 2 + B^{2} = C^{2}

$a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$

62 + B^{2} = 7^{2}

${displaystyle 6^{2}+b^{2}=7^{2}}$

36 + B 2 = 49

${displaystyle 36+b^{2}=49}$

B 2 = 13

${displaystyle b^{2}=13}$

B = \sqrt{13}

${displaystyle b={sqrt {13}}}$
Also aufpassen

\sqrt{13}

${displaystyle {sqrt {13}}}$ als Basis des zweiten Dreiecks.

Bildtitel Find the Perimeter of a Trapezoid Step 12

9. Addiere alle Seitenlängen des Trapezes. Der Umfang eines Polygons ist die Summe aller Seiten:

P = T + B + l + R

${displaystyle P=T+B+L+R}$ . Für den Boden füge die Unterseite des Rechtecks plus die Basen der beiden Dreiecke hinzu. Sie werden wahrscheinlich Quadratwurzeln in Ihrer Antwort haben. Eine vollständige Anleitung zum Addieren von Quadratwurzeln finden Sie im Artikel zu diesem Thema. Sie können auch einen Taschenrechner verwenden, um die Quadratwurzeln in Dezimalzahlen umzurechnen.

Zum Beispiel:

6 + (6 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{13}) + 9 + 7 = 28 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{13}

${displaystyle 6+(6+3{sqrt {5}}+{sqrt {13}})+9+7=28+3{sqrt {5}}+{sqrt {13}}}$
Nachdem Sie die Quadratwurzeln in Dezimalzahlen umgewandelt haben, haben Sie

6 + (6 + 6, 708 + 3, 606) + 9 + 7 = 38, 314

${displaystyle 6+(6+6.708+3.606)+9+7=38.314}$
Der ungefähre Umfang Ihres Trapezes beträgt also 38,314 cm..

Methode 3 von 3: Wenn Sie die Höhe, Länge der oberen und unteren Innenecken kennen

Find the Perimeter of a Trapezoid Step 13

1. Teilen Sie das Trapez in ein Rechteck und zwei rechtwinklige Dreiecke. Geben Sie dazu die Höhe von den beiden oberen Ecken an.

Wenn Sie keine zwei rechtwinkligen Dreiecke bilden können, weil eine Seite des Trapezes senkrecht zur Grundfläche steht, stellen Sie sicher, dass diese Seite die gleiche Größe wie die Höhe hat, und teilen Sie das Trapez in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck auf.

Find the Perimeter of a Trapezoid Step 14

2. Beschriften Sie jede Kontur. Da es sich um gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks handelt, haben sie die gleiche Länge.

Wenn Sie beispielsweise ein Trapez mit einer Höhe von 6 cm haben, ziehen Sie eine Linie von jedem oberen Scheitelpunkt nach unten. Beachten Sie 6 cm in jeder Zeile.

Find the Perimeter of a Trapezoid Step 15

3. Beachten Sie die Länge des mittleren Teils des Bodens. (Dies ist der untere Rand des Rechtecks.) Diese Länge ist gleich der Länge der Oberseite, da die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks gleich lang sind.

Wenn zum Beispiel die Oberseite des Trapezes 6 cm beträgt, ist der mittlere Teil der Unterseite ebenfalls 6 cm² groß.

Find the Perimeter of a Trapezoid Step 16

4. Stellen Sie die Sinusformel für das erste rechtwinklige Dreieck auf. Die Formel lautet

Sünde θ = \frac{Gegenteil}{Hypotenuse}

${displaystyle sintheta ={frac {text{Gegenteil}}{text{Hypotenuse}}}}$ , wodurch

θ

$theta$ die innere ecke ist,

Gegenteil

${displaystyle {text{Gegenseite}}}$ die Höhe des Dreiecks und

Hypotenuse

${displaystyle {text{Hypotenuse}}}$ ist die Länge der Hypotenuse.

Mit diesem Verhältnis können Sie die Länge der Hypotenuse des Dreiecks ermitteln, die auch die erste Seite des Trapezes ist.

Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem 90-Grad-Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks.

Finden Sie den Umfang eines Trapezes Schritt 17

5. Verwenden Sie die bekannten Werte im Sinusverhältnis. Achten Sie darauf, die Höhe des Dreiecks als Länge der gegenüberliegenden Seite in der Formel zu verwenden. du löst das für H . auf.

Angenommen, der angegebene Innenwinkel beträgt 35 Grad und die Höhe des Dreiecks beträgt 6 cm, dann sieht Ihre Formel wie folgt aus:

Sünde (35) = \frac{6}{huh}

${displaystyle sin(35)={frac {6}{H}}}$

Bildtitel Find the Perimeter of a Trapezoid Step 18

6. Bestimmen Sie den Sinus des Winkels. Tun Sie dies mit der SIN-Taste auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner. Verwenden Sie diesen Wert in der Formel.

Wenn Sie beispielsweise einen Taschenrechner verwenden, werden Sie feststellen, dass der Sinus eines 35-Grad-Winkels 0,5738 (abgerundet) beträgt. Deine Formel lautet nun also:

0, 5738 = \frac{6}{huh}

${displaystyle 0.5738={frac {6}{H}}}$

Bildtitel Find the Perimeter of a Trapezoid Step 19

7. Löse dies für H . auf. Multiplizieren Sie dazu jede Seite mit H und teilen Sie dann jede Seite durch den Sinuswinkel. Oder dividiere die Höhe des Dreiecks durch den Sinuswinkel.

Zum Beispiel:

0, 5738 = \frac{6}{huh}

${displaystyle 0.5738={frac {6}{H}}}$

0, 5738 huh = 6

${displaystyle 0.5738H=6}$

0, 5738 huh 0, 5738 = 6 0, 5738

${displaystyle {frac {0.5738H}{0.5738}}={frac {6}{0.5738}}}$

huh = 10, 4566

${displaystyle H=10.4566}$
Somit beträgt die Länge der Hypotenuse und der ersten fehlenden Seite des Trapezes etwa 10,4566 cm.

Find the Perimeter of a Trapezoid Step 20

8. Finden Sie die Länge der Hypotenuse des zweiten rechtwinkligen Dreiecks. Stellen Sie die Sinusformel ein (

Sünde θ = \frac{Gegenteil}{Hypotenuse}

${displaystyle sintheta ={frac {text{Gegenteil}}{text{Hypotenuse}}}}$ ) für den zweiten gegebenen Innenwinkel. Dadurch erhältst du die Länge der Hypotenuse, die auch die erste Seite des Trapezes ist.

Wenn der angegebene Innenwinkel beispielsweise 45 Grad beträgt, berechnen Sie:

Sünde (45) = \frac{6}{huh}

${displaystyle sin(45)={frac {6}{H}}}$

0, 7071 = \frac{6}{huh}

${displaystyle 0.7071={frac {6}{H}}}$

0, 7071 huh = 6

${displaystyle 0.7071H=6}$

0, 7071 huh 0, 7071 = 6 0, 7071

${displaystyle {frac {0.7071H}{0.7071}}={frac {6}{0.7071}}}$

huh = 8, 4854

${displaystyle H=8.4854}$
Die Länge der Hypotenuse und der zweiten fehlenden Seite des Trapezes beträgt also etwa 8,4854 cm.

Find the Perimeter of a Trapezoid Step 21

9. Stellen Sie den Satz des Pythagoras für das erste rechtwinklige Dreieck auf. Der Satz des Pythagoras ist laut

ein 2 + B^{2} = C^{2}

$a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , wobei die Länge der Hypotenuse gleich ist

C

$C$ , und die Höhe des Dreiecks

ein

$ein$ .

Find the Perimeter of a Trapezoid Step 22

10. Verwenden Sie die bekannten Werte im Satz des Pythagoras für das erste rechtwinklige Dreieck. Stellen Sie sicher, dass Sie den richtigen Wert für die Hypotenuse eingeben

C

$C$ und die Höhe

ein

$ein$ .

Wenn das erste rechtwinklige Dreieck beispielsweise eine Hypotenuse von 10,4566 und eine Höhe von 6 hat, lautet Ihre Formel:

62 + B^{2} = 10, 4566^{2}

${displaystyle 6^{2}+b^{2}=10.4566^{2}}$

Bildtitel Find the Perimeter of a Trapezoid Step 23

11. Löse das für B{displaystyle b} $B$ . Dies gibt Ihnen die Länge der Basis des ersten rechtwinkligen Dreiecks und den ersten fehlenden Teil der Basis des Trapezes.

Zum Beispiel:

62 + B^{2} = 10, 4566^{2}

${displaystyle 6^{2}+b^{2}=10.4566^{2}}$

36 + B 2 = 109, 3405

${displaystyle 36+b^{2}=109.3405}$

B 2 = 109, 3405 - 36

${displaystyle b^{2}=109.3405-36}$

B 2 = 73, 3405

${displaystyle b^{2}=73.3405}$

\sqrt{B} 2 = \sqrt{73, 3405}

${displaystyle {sqrt {b^{2}}}={sqrt {73.3405}}}$

B = 8, 5639

${displaystyle b=8.5639}$
Die Basis des Dreiecks und der erste fehlende Teil der Unterseite des Trapezes beträgt also etwa 8,5639 cm.

Bildtitel Find the Perimeter of a Trapezoid Step 24

12. Finden Sie die Länge der fehlenden Basis des zweiten rechtwinkligen Dreiecks. Verwenden Sie den Satz des Pythagoras (

ein 2 + B^{2} = C^{2}

$a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ ). Verwenden Sie die Länge der Hypotenuse für

C

$C$ und die Höhe für

ein

$ein$ . Löse das für

B

$B$ und Sie erhalten die Länge des zweiten fehlenden Teils des unteren Trapezes.

Wenn das zweite rechtwinklige Dreieck beispielsweise eine Hypotenuse von 8,4854 und eine Höhe von 6 hat, würden Sie wie folgt berechnen:

62 + B^{2} = 8, 4854^{2}

${displaystyle 6^{2}+b^{2}=8.4854^{2}}$

36 + B 2 = 72

${displaystyle 36+b^{2}=72}$

B 2 = 72 - 36

${displaystyle b^{2}=72-36}$

B 2 = 36

${displaystyle b^{2}=36}$

\sqrt{B} 2 = \sqrt{36}

${displaystyle {sqrt {b^{2}}}={sqrt {36}}}$

B = 6

${displaystyle b=6}$
Die Basis des zweiten Dreiecks und der zweite fehlende Teil des Bodens des Trapezes sind also gleich 6 cm.

Bildtitel Find the Perimeter of a Trapezoid Step 25

13. Fügen Sie alle Seiten des Trapezes zusammen. Der Umfang eines Polygons ist die Summe aller Seiten:

P = T + B + l + R

${displaystyle P=T+B+L+R}$ . Für den unteren Rand füge den unteren Rand des Rechtecks zur Basis der beiden Dreiecke hinzu.

Zum Beispiel:

6 + (8, 5639 + 6 + 6) + 10, 4566 + 8, 4854 = 45, 5059

${displaystyle 6+(8.5639+6+6)+10.4566+8.4854=45.5059}$
Der ungefähre Umfang des Trapezes beträgt also 45,5059 cm.

Tipps

Verwenden Sie die Gesetze spezieller Dreiecke, um die fehlenden Längen spezieller Dreiecke zu finden, ohne die Sinusformel oder den Satz des Pythagoras zu verwenden. Die Gesetze gelten für ein 30-60-90-Dreieck oder ein 90-45-45-Dreieck.
Verwenden Sie einen wissenschaftlichen Taschenrechner, um den Sinus eines Winkels zu bestimmen, indem Sie den Winkel eingeben und dann die Taste `SIN` drücken. Sie können auch eine Trigonometrietabelle verwenden.