Transponieren einer Matrix: 11 Schritte (mit Bildern)

Schritte
Tipps

Eine Matrixtransposition ist ein nützliches mathematisches Werkzeug zum Verständnis der Struktur von Matrizen. Merkmale, die Sie vielleicht bereits von Matrizen kennen, wie Quadrat und Symmetrie, beeinflussen die Transpositionsergebnisse auf offensichtliche Weise. Die Transposition dient auch dazu, Vektoren als Matrizen auszudrücken oder die Produkte von Vektoren zu berechnen. Bei komplexen Matrizen hilft Ihnen das eng verwandte Konzept der konjugierten Transposition bei vielen Problemen.

Schritte

Teil1 von 3: Transponieren einer Matrix

1. Beginnen Sie mit einer beliebigen Matrix. Sie können jede Matrix unabhängig von der Anzahl der Zeilen und Spalten transponieren. Quadratische Matrizen mit einer gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten werden am meisten transponiert, daher verwenden wir als Beispiel eine einfache quadratische Matrix:

Matrix ein =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

2. Machen Sie die erste Zeile der Matrix zur ersten Spalte der Transposition. Schreiben Sie Zeile eins der Matrix als Spalte um:

Transposition der Matrix A = A

Erste Spalte von A:
1
2
3

3. Wiederholen Sie dies für die restlichen Reihen. Die zweite Zeile der Originalmatrix wird zur zweiten Spalte der Transposition. Wiederholen Sie dieses Muster, bis Sie jede Zeile in eine Spalte umgewandelt haben:

ein =
1 4 7
2 5 8
3 6 9

4. Üben Sie an einer nicht-quadratischen Matrix. Die Transposition ist für eine nicht quadratische Matrix genau gleich. Sie schreiben die erste Zeile als erste Spalte um, die zweite Zeile als zweite Spalte und so weiter. Hier ist ein farbcodiertes Beispiel, das Ihnen zeigt, wo die Elemente landen:

Matrix z =
4 7 2 1
3 9 8 6

Matrix z =
4 3
7 9
2 8
1 6

5. Drücken Sie die Transposition mathematisch aus. Das Konzept ist recht einfach, aber es ist gut, es mathematisch beschreiben zu können. Außerhalb der grundlegenden Matrixnotation wird kein Jargon benötigt:

Wenn Matrix B a . ist m x n Matrix (m Zeilen und n Spalten), dann ist die transponierte Matrix B a n x m Matrix (n Zeilen und m Spalten).

Für jedes Element b_xy (x-das, ja-der Spalte) in B hat die Matrix B ein gleiches Element auf b_yx (ja-die Reihe, x-die Kolumne).

Teil2 von 3: Sonderfälle

1. (M = M. Die Transposition einer Transposition ist die ursprüngliche Matrix. Dies ist sehr sinnvoll, da Sie nur die Zeilen und Spalten vertauschen. Wenn Sie sie erneut austauschen, kehren Sie zum Anfang zurück.

2. Quadratmatrizen über die Hauptdiagonale neigen. In einer quadratischen Matrix "kippt" eine Transposition die Matrix entlang der Hauptdiagonalen. Mit anderen Worten, die Elemente in einer diagonalen Linie von Element a₁₁ zur unteren rechten Ecke bleiben gleich. Die anderen Elemente bewegen sich über die Diagonale und enden im gleichen Abstand von der Diagonale auf der gegenüberliegenden Seite.

Wenn Sie dies nicht visualisieren können, zeichnen Sie eine 4x4-Matrix auf ein Blatt Papier. Falte nun die Hauptdiagonale um. Siehst du, wie Elemente a₁₄ und ein₄₁ sich gegenseitig berühren? Sie tauschen die Plätze in der Transposition, genau wie jedes andere Paar, das sich beim Falten berührt.

3. Transponiere eine symmetrische Matrix. Eine symmetrische Matrix ist symmetrisch um die Hauptdiagonale. Wenn wir wie oben beschrieben `tilt` oder `fold` verwenden, können wir sofort sehen, dass sich nichts ändert. Alle Elementpaare, die die Plätze tauschen, waren bereits identisch. Tatsächlich ist dies die Standardmethode, um eine symmetrische Matrix zu definieren. Wenn Matrix A = A, dann ist Matrix A symmetrisch.

Teil3 von 3: Konjugierte Transposition einer komplexen Matrix

1. Beginnen Sie mit einer komplexen Matrix. Komplexe Matrizen haben Elemente mit einer reellen und einer imaginären Komponente. Während Sie diese Matrizen regelmäßig transponieren können, sind die meisten praktischen Berechnungen stattdessen konjugierte Transpositionen.

Matrix C =
2+ich 3-2ich
0+ich 5+0ich

2. Nimm die komplexe Konjugation. Die komplexe Konjugation ändert das Vorzeichen der Imaginärkomponenten, ohne die Realkomponenten zu ändern. Führen Sie diese Operation für alle Elemente der Matrix aus.

Komplexe Konjugation von C =
2-ich 3+2ich
0-ich 5-0ich

3. Übertrage die Ergebnisse. Nehmen Sie eine normale Umrechnung des Ergebnisses vor. Die Matrix, die Sie am Ende erhalten, ist die konjugierte Transposition der ursprünglichen Matrix.

Konjugierte Transposition von C = C =
2-ich 0-ich
3+2ich 5-0ich

Tipps

In diesem Artikel wird die Notation A verwendet, um die Umwandlung der Matrix A . zu bezeichnen. Die Notation A` oder Ã bedeutet dasselbe.
Dieser Artikel bezieht sich auf die konjugierte Umwandlung von Matrix A in A, die gebräuchlichste Notation in der linearen Algebra. Quantenphysiker verwenden stattdessen oft A. A* ist eine weitere Option, aber versuchen Sie dies zu vermeiden, da einige Quellen dieses Symbol verwenden, um eine komplexe Konjugation anzuzeigen.