Zahlen von 1 bis N hinzufügen: 7 Schritte (mit Bildern)

Schritte
- Methode 1 von 1:Teil zwei: Verwenden der Summe von 1 bis N, um die Summe zweier Ganzzahlen zu finden
Tipps
Warnungen

Ganzzahlen sind ganze Zahlen ohne Brüche oder Dezimalzahlen. Wenn Sie bei einer mathematischen Aufgabe eine Anzahl von ganzen Zahlen von 1 bis zu einem gegebenen Wert N summieren müssen, müssen Sie nicht jeden Wert von Hand addieren. Um Zeit und Mühe zu sparen, verwenden Sie stattdessen die Gleichung (N(N + 1)) / 2, wobei N die höchste Zahl in der Reihe darstellt.

Schritte

Bildtitel Sum the Integers from 1 to N Step 1

1. Definiere die größte ganze Zahl als N. Beim Addieren von ganzen Zahlen von 1 zu einer gegebenen Zahl n, du musst N selbst als positive ganze Zahl definieren. N ist eine ganze Zahl und kann daher weder eine Dezimalzahl noch ein Bruch sein. N darf auch nicht negativ sein.

Nehmen wir als Beispiel an, wir möchten alle ganzen Zahlen von 1 bis 100 . addieren. In diesem Fall ist 100 der Wert für N, denn dies ist die letzte Zahl in unserer Reihe, also die größte Zahl der Addition.

Bildtitel Sum the Integers from 1 to N Step 2

2. Multipliziere N(N + 1) und dividiere durch 2. Nachdem Sie den Wert von N definiert haben, wenden Sie diesen Wert auf die Gleichung (N(N + 1))/2 . an. Diese Gleichung findet die Summe aller ganzen Zahlen zwischen 1 und N.

In unserem Beispiel tragen wir 100, den Wert für N, in die Gleichung ein. (N(N + 1))/2 wird dann (100 (100 + 1))/2.

Bildtitel Sum the Integers from 1 to N Step 3

3. Berechnen Sie die Antwort. Der Endwert dieser Gleichung ist die Summe aller Zahlen zwischen 1 und N.

Lass uns dieses Beispiel lösen.

(100(100 + 1))/2 =

(100(101))/2 =

(10100)/2 =

5050. die Summe aller ganzen Zahlen von 1 bis 100 ist 5050.

Bildtitel Sum the Integers from 1 to N Step 4

4. Verstehen Sie, wie die Gleichung (N(N + 1))/2 abgeleitet wird. Sehen Sie sich das Beispielproblem noch einmal an. Teilen Sie diese Sequenz 1 + 2 + 3 + 4... + 99 + 100 in zwei Gruppen – von 1 bis 50 und eine von 51 bis 100. Wenn Sie die erste Zahl in der ersten Gruppe (1) zur letzten Zahl in der zweiten Gruppe (100) hinzufügen, erhalten Sie 101. Sie erhalten dieselbe Antwort (101) bei 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 usw. Wenn wir jede Zahl in der ersten Gruppe zu ihrer entsprechenden Zahl in der zweiten Gruppe addieren, erhalten wir 50 Zahlenpaare mit derselben Summe: 101. Also, 50 x 101 = 5050, die Summe für die ganzen Zahlen von 1 bis 100. Beachten Sie, dass 50 die Hälfte von 100 ist und dass 101 100 + 1 . ist. Tatsächlich gilt diese Beobachtung für die Summe jeder positiven ganzen Zahl - die Summe der Komponenten kann in zwei Gruppen unterteilt werden, und die Zahlen in diesen Gruppen können einander so zugeordnet werden, dass jedes Paar die gleiche Summe hat. Beachten Sie, dass eine ungerade Folge von ganzen Zahlen eine Zahl hinterlässt -- dies hat keinen Einfluss auf die endgültige Antwort.

Im Allgemeinen können wir sagen, dass für jede Zahl N die Summe der Zahlen von 1 bis N gleich (N/2)(N + 1) ist. Die vereinfachte Form dieser Gleichung ist (N(N + 1))/2, die Gleichung der Summe der ganzen Zahlen.

Methode 1 von 1:Teil zwei: Verwenden der Summe von 1 bis N, um die Summe zweier Ganzzahlen zu finden

Bildtitel Sum the Integers from 1 to N Step 5

1. Entscheiden Sie, ob Sie inklusiv oder exklusiv hinzufügen möchten. Oftmals besteht das Ziel nicht darin, einen Bereich von ganzen Zahlen von 1 bis zu einer bestimmten Zahl zu summieren, sondern Sie werden aufgefordert, die Summe einer Reihe von ganzen Zahlen zu finden zwischen zwei ganze Zahlen N₁ und N₂, wo N₁ > n₂ und beide > 1 sein. Der Prozess zum Ermitteln dieser Summe ist relativ einfach, aber bevor wir beginnen, müssen wir entscheiden, ob die Summe einschließend oder ausschließend ist – mit anderen Worten, ob die N₁ und N₂ beinhaltet oder nur die ganzen Zahlen dazwischen, da die Vorgehensweise in diesen Fällen etwas anders ist.

Bildtitel Sum the Integers from 1 to N Step 6

2. Um die Summe der ganzen Zahlen zwischen zwei Zahlen zu bestimmen N₁ und N₂ Wir bestimmen zuerst die Summe jedes Wertes von N separat und ziehen sie ab. Im Allgemeinen müssen Sie nur die Summe des kleineren N-Wertes von der Summe des größeren N-Wertes subtrahieren, um die Antwort zu finden. jedoch, Wie oben erwähnt, ist es wichtig zu wissen, ob dieser Zusatz inklusiv oder exklusiv ist. Inklusive Addition erfordert, dass Sie 1 vom Wert von N . subtrahieren₂ bevor Sie es in die Gleichung einsetzen, während Sie bei der exklusiven Aufzählung 1 vom Wert für N . subtrahieren müssen₁.

Sagen wir nach dem gefragt inklusive Summe, um die ganzen Zahlen zwischen N . zu bestimmen₁ = 100 und N₂ = 75. Mit anderen Worten, wir müssen die Summe der Folge 75 + 76 + 77 . finden ... + 99 + 100. Dazu nehmen wir die Summe der ganzen Zahlen von 1 bis N₁, und subtrahiere diese Summe von den ganzen Zahlen von 1 bis N₂ - 1 (denken Sie daran, dass wir inklusive addieren, also subtrahieren wir 1 von N₂) und gehen Sie wie folgt vor:

(N₁(N₁ + 1))/2 - ((N₂-1)((N₂-1) + 1))/2 =

(100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =

5050 - (74(75))/2 =

5050 - 5550/2 =

5050 – 2775 = 2275. Die inklusive Summe der ganzen Zahlen zwischen 75 und 100 ist 2275.

Lass uns jetzt exklusiv fang an zu zählen. Die Gleichung bleibt dieselbe, außer dass wir in diesem Fall 1 von N . subtrahieren₁ statt N₂:

((N₁-1)((N₁-1) + 1))/2 - (N₂(N₂ + 1))/2 =

(99(99+1))/2 - (75(75+1))/2 =

(99(100))/2 - (75(76))/2 =

9900/2 – 5700/2 =

4950 – 2850 = 2100. Die exklusive Summe der ganzen Zahlen zwischen 75 und 100 ist 2100.

Bildtitel Sum the Integers from 1 to N Step 7

3. Verstehen Sie, warum dieser Prozess funktioniert. Betrachten Sie die Summe der ganzen Zahlen von 1 bis 100 als 1 + 2 + 3... + 98 + 99 + 100 und die Summe der ganzen Zahlen von 1 bis 75 als 1 + 2 + 3 ... + 73 + 74 + 75. Die inklusive Summe der ganzen Zahlen von 75 bis 100 bedeutet 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Die Summe von 1-75 und 1-100 sind gleich, bis eine mit 75 --– an diesem Punkt `stoppt` die Summe von 1-75 und die Summe von 1-100 geht weiter, mit ... 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Daher ermöglicht uns das Subtrahieren der Summe der ganzen Zahlen von 1-75 von der Summe der ganzen Zahlen von 1-100, die Summe der ganzen Zahlen von 75-100 . zu trennen.

Wenn wir jedoch inklusiv addieren, müssen wir die Summe von 1-74 anstelle der Summe von 1-75 verwenden, um sicherzustellen, dass 75 in der Endsumme enthalten ist.

In ähnlicher Weise verwenden wir ausschließlich zusätzlich die Summe von 1-99 anstelle der Summe von 1-100, um sicherzustellen, dass 100 nicht in der Summe enthalten sind. Wir können die Summe von 1-75 verwenden, da die Subtraktion dieser Summe von der Summe von 1-99 die Zahl 75 von unserer Endsumme ausschließt.

Tipps

Das Ergebnis ist immer eine ganze Zahl, denn n oder n+1 ist gerade und kann daher durch 2 . geteilt werden.
Kurz: SUM(1 bis n) = n(n+1)/2
SUMME(a bis b)= SUM(1 bis b) - SUM(1 bis a-1).

Warnungen

Obwohl Verallgemeinerungen auf negative Zahlen nicht sehr schwierig sind, beschränkt sich diese Erklärung auf alle positiven ganzen Zahlen N, wobei N mindestens 1 . ist.