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In unserem Beispiel ist der Nenner des gestapelten Bruchs (11/15)/(29/70) der Bruch 29/70. Um die Umkehrung zu finden, kehren wir sie um und der Bruch wird zu 70/29. Beachten Sie, dass Sie, wenn der gestapelte Bruch eine ganze Zahl im Nenner hat, ihn als Bruch behandeln und trotzdem seine Umkehrung finden können. Angenommen, der gestapelte Bruch wäre (11/15)/(29), dann können wir den Nenner als 29/1 definieren, mit dem Kehrwert 1/29. 
In unserem Beispiel multiplizieren wir 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 und 15 × 29 = 435. So auch unser neuer einfacher Bruch 770/435. 
Ein gemeinsamer Teiler von 770 und 435 ist 5. Wenn wir also Zähler und Nenner unseres Bruchs durch 5 teilen, erhalten wir 154/87. 154 und 87 haben keine gemeinsamen Faktoren, also wissen wir, dass wir die endgültige Antwort gefunden haben! 
An einem Beispiel ist das leichter zu verstehen. Versuchen wir, den oben erwähnten gestapelten Bruch zu vereinfachen, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). Die Bruchterme in dieser zusammengesetzten Fraktion sind (1)/(x+3) und (1)/(x-5). Der gemeinsame Nenner dieser beiden Brüche ist das Produkt ihrer Nenner: (x+3)(x-5). 
In unserem Beispiel multiplizieren wir den gestapelten Bruch (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) mit ((x+ 3 )(x-5))/((x+3)(x-5)). Wir müssen mit dem Zähler und Nenner des gestapelten Bruchs multiplizieren, indem wir jeden Term mit (x+3)(x-5) multiplizieren. Lassen Sie uns zuerst den Zähler multiplizieren: (((1)/(x+3)) + x - 10) × (x+3)(x-5) = (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) - 10((x+3)(x-5)) = (x-5) + (x(x - 2x - 15)) - (10(x - 2x - 15)) = (x-5) + (x - 2x - 15x) - (10x - 20x - 150) = (x-5) + x - 12x + 5x + 150 = x - 12x + 6x + 145 
Der Nenner unseres gestapelten Bruchs, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), ist x +4 +(( 1)/(x-5)). Wir werden dies mit dem gefundenen kgd (x+3)(x-5) multiplizieren. (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x+3)(x-5) = x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5). = x(x - 2x - 15) + 4(x - 2x - 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5) = x - 2x - 15x + 4x - 8x - 60 + (x+3) = x + 2x - 23x - 60 + (x+3) = x + 2x - 22x - 57 
Mit dem Zähler und Nenner, den wir oben gefunden haben, können wir einen Bruch konstruieren, der unserem anfänglichen gestapelten Bruch gleich ist, aber keine Brüche enthält. Der Zähler, den wir erhalten haben, war x - 12x + 6x + 145 und der Nenner war x + 2x - 22x - 57, also ist der neue Bruch: (x - 12x + 6x + 145)/(x + 2x - 22x - 57)
Vereinfachte gestapelte brüche
Gestapelte Brüche sind Brüche, bei denen der Zähler, Nenner oder beide Brüche selbst enthalten. Aus diesem Grund könnte man dies auch `Brüche in Brüchen` nennen. Die Vereinfachung gestapelter Brüche ist ein Prozess, der von einfach bis schwierig reichen kann, je nachdem, wie viele Terme im Zähler und Nenner vorhanden sind, ob einer der Terme variabel ist und wenn ja, wie komplex die variablen Terme sind. Siehe Schritt 1 unten, um loszulegen!
Schritte
Methode 1 von 2: Vereinfachen von gestapelten Brüchen mit umgekehrter Multiplikation
1. Vereinfachen Sie ggf. Zähler und Nenner auf wenige Brüche. Gestapelte Brüche sind nicht unbedingt schwer zu lösen. Tatsächlich sind gestapelte Brüche, bei denen Zähler und Nenner beide einen einzigen Bruch enthalten, normalerweise recht einfach zu lösen. Wenn also der Zähler oder Nenner Ihres gestapelten Bruchs (oder beides) mehrere Brüche oder Brüche und ganze Zahlen enthält, vereinfachen Sie wie gewünscht, um einen einzelnen Bruch sowohl im Zähler als auch im Nenner zu erhalten. Dies kann erfordern das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) um zwei oder mehr Brüche zu finden.
- Angenommen, wir wollen den komplexen Bruch vereinfachen (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Zuerst können wir dann sowohl den Zähler als auch den Nenner unseres komplexen Bruchs zu einzelnen Brüchen vereinfachen.
- Um den Zähler zu vereinfachen, nehmen wir einen LCF von 15, indem wir 3/5 mit 3/3 . multiplizieren. Unser Zähler wird 9/15 + 2/15, was 11/15 . entspricht.
- Um den Nenner zu vereinfachen, nehmen wir einen lcm von 70, indem wir 5/7 mit 10/10 und 3/10 mit 7/7 multiplizieren. Unser Nenner wird 50/70 - 21/70 sein, was 29/70 . entspricht.
- Unsere neue gestapelte Fraktion ist also (11/15)/(29/70).
2. Drehe den Nenner um und finde die Umkehrung. Per Definition, Teile von einer Zahl zur anderen das gleiche wie die Multiplizieren der ersten Zahl mit dem Kehrwert der zweiten Zahl. Nachdem wir nun einen gestapelten Bruch mit einem einzigen Bruch sowohl im Zähler als auch im Nenner erhalten haben, können wir diese Divisionseigenschaft verwenden, um unseren gestapelten Bruch zu vereinfachen! Bestimme zuerst den Kehrwert des Nenners des gestapelten Bruchs. Tun Sie dies, indem Sie den Bruch `invertieren` - der Zähler ersetzt den Nenner und umgekehrt.
3. Multipliziere den Zähler des gestapelten Bruchs mit dem Kehrwert des Nenners. Nachdem Sie nun den Kehrwert des Nenners Ihres gestapelten Bruchs erhalten haben, multiplizieren Sie ihn mit dem Zähler, um einen einzelnen einfachen Bruch zu erhalten! Denken Sie daran, dass wir zum Multiplizieren zweier Brüche nicht kreuzweise multiplizieren – der Zähler des neuen Bruchs ist das Produkt des Zählers der beiden alten, ebenso wie der Nenner.
4. Vereinfachen Sie den neuen Bruch, indem Sie den größten gemeinsamen Teiler finden. Wir haben jetzt einen einzigen einfachen Bruch, also müssen wir ihn nur noch so einfach wie möglich darstellen. Besondere größter gemeinsamer Teiler (gcd) des Zählers und Nenners und dividiere beide durch diese Zahl zur Vereinfachung.
Methode 2 von 2: Vereinfachte gestapelte Brüche mit variablen Termen
1. Verwenden Sie nach Möglichkeit die inverse Multiplikationsmethode wie oben beschrieben. Um es klar zu sagen, fast jeder gestapelte Bruch kann vereinfacht werden, indem man Zähler und Nenner auf einzelne Brüche reduziert und den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners multipliziert. Gestapelte Brüche von Variablen sind keine Ausnahme, aber je komplizierter die Variablenausdrücke im gestapelten Bruch sind, desto schwieriger und zeitaufwändiger ist die umgekehrte Multiplikation. Für `einfache` gestapelte Brüche mit Variablen ist die Multiplikation mit der Umkehrung eine gute Wahl, aber gestapelte Brüche mit mehreren variablen Termen im Zähler und Nenner können mit der unten beschriebenen alternativen Methode einfacher zu vereinfachen sein.
- Zum Beispiel: (1/x)/(x/6) lässt sich leicht mit inverser Multiplikation vereinfachen. 1/x × 6/x = `6/x. Es ist nicht notwendig, eine alternative Methode zu verwenden.
- Allerdings ist der Bruch (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) mit umgekehrter Multiplikation schwieriger zu vereinfachen. Zähler und Nenner dieses gestapelten Bruchs auf einzelne Brüche zu reduzieren, umgekehrt zu multiplizieren und das Ergebnis auf die einfachsten Terme zu reduzieren, ist wahrscheinlich ein komplizierter Prozess. In diesem Fall kann die folgende alternative Methode einfacher sein.
2. Wenn eine inverse Multiplikation nicht praktikabel ist, beginnen Sie damit, den kleinsten gemeinsamen Teiler der Divisionsterme im Stapelbruch zu finden. Der erste Schritt bei dieser alternativen Vereinfachungsmethode besteht darin, die kgd aller Bruchterme im Stapelbruch zu finden – sowohl im Zähler als auch im Nenner. Wenn einer oder mehrere der Bruchterme Variablen im Nenner haben, ist kgd einfach das Produkt ihrer Nenner.
3. Multipliziere den Zähler des gestapelten Bruchs mit dem kgd. Als nächstes müssen wir die Terme in unserem gestapelten Bruch mit dem kgd seiner Bruchterme multiplizieren. Mit anderen Worten, wir multiplizieren den gesamten gestapelten Bruch mit (kgd)/(kgd). Wir können dies einfach tun, weil (kgd)/(kgd) gleich 1 . ist. Multipliziere zuerst den Zähler mit sich selbst.
4. Multiplizieren Sie den Nenner des gestapelten Bruchs mit kgd wie beim Zähler. Multiplizieren Sie den gestapelten Bruch mit dem gefundenen kgd, indem Sie zum Nenner gehen. Multiplizieren Sie jeden Term mit dem kgd.
5. Bilde einen neuen, vereinfachten Bruch aus dem Zähler und Nenner, den du gerade gefunden hast. Nachdem Sie Ihren Bruch mit Ihrem (kgd)/(kgd)-Ausdruck multipliziert und durch Durchstreichen ähnlicher Terme vereinfacht haben, sollten Sie einen einfachen Bruch haben, der keine Bruchterme enthält. Wie Sie vielleicht bemerkt haben, heben sich die Nenner dieser Brüche gegenseitig auf (indem die Brüche im ursprünglichen gestapelten Bruch mit dem kgd multipliziert werden), wobei variable Terme und ganze Zahlen im Zähler und Nenner Ihrer Antwort bleiben, aber keine Brüche.
Tipps
- Zeigen Sie jeden Schritt Ihrer Arbeit. Brüche können verwirrend sein, wenn du zu schnell gehen oder versuchen willst, sie aus deinem Kopf zu bekommen.
- Suchen Sie online oder in Ihrem Lehrbuch nach Beispielen für gestapelte Brüche. Folgen Sie jedem Schritt, bis Sie ihn beherrschen.
"Vereinfachte gestapelte brüche"
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