Analyse verstehen (mit Bildern)

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Analysis (auch Infinitesimalrechnung genannt) ist ein Zweig der Mathematik, der sich auf Grenzen, Funktionen, Ableitungen, Integrale und unendliche Reihen konzentriert. Dieses Fach deckt einen Großteil der Mathematik ab und liegt vielen Formeln und Gleichungen zugrunde, die in Physik und Mechanik verwendet werden. Sie werden wahrscheinlich mehrere Jahre Mathematik in der High School brauchen, um die Analyse richtig zu verstehen, aber dieser Artikel wird Ihnen den Einstieg in das Erkennen der Schlüsselkonzepte sowie ein besseres Verständnis der Theorie erleichtern.

Schritte

Teil 1 von 3: Die Grundlagen der Analyse

1. Analyse ist die Untersuchung, wie sich die Dinge ändern. Die Analysis ist ein Zweig der Mathematik, der Zahlen und Grafiken untersucht, die normalerweise aus Daten der realen Welt stammen, und erklärt, wie sie sich ändern. Auch wenn dies auf den ersten Blick nicht sehr hilfreich erscheinen mag, ist die Analysis einer der am häufigsten verwendeten Zweige der Mathematik. Stellen Sie sich vor, Sie hätten die Tools, die Ihnen sagen können, wie schnell Ihr Unternehmen zu einem bestimmten Zeitpunkt wächst oder den Kurs eines Raumschiffs aufzeichnen und wie schnell der Treibstoff aufgebraucht ist. Die Analyse ist ein wichtiges Werkzeug in den Ingenieurwissenschaften, Wirtschaftswissenschaften, Statistik, Chemie und Physik und hat zu vielen Erfindungen und Entdeckungen beigetragen.

2. Funktionen sind Beziehungen zwischen zwei Zahlen und werden zur Abbildung von Beziehungen verwendet. Sie sind Regeln für die Beziehung zwischen Zahlen, und Mathematiker verwenden sie, um Graphen zu erstellen. In einer Funktion hat jede Eingabe genau ein Ergebnis. Zum Beispiel: in

ja = 2 x + 4,

$y=2x+4,$ gibt einen beliebigen Wert von zurück

x

$x$ ein neuer Wert für

ja .

$y$ Für den Fall, dass

x = 2,

$x=2,$ dann ist

ja = 8.

$j=8$ Für den Fall, dass

x = 10,

$x=10,$ , dann

ja = 24.

$y=24$ Die Analyse untersucht immer Funktionen und wie sie sich ändern, und verwendet diese Funktionen, um Beziehungen abzubilden.

Funktionen werden oft geschrieben als

F (x) = x + 3.

$f(x)=x+3$ Dies bedeutet, dass die Funktion

F (x)

$f(x)$ Addiere immer 3 zu der Zahl, die du dafür hast

x

$x$ ergänze. Wenn Sie 2 eingeben, schreiben Sie auf

F (2) = (2) + 3,

$f(2)=(2)+3,$ oder

F (2) = 5.

$f(2)=5$

Funktionen können auch komplexe Bewegungen darstellen. Die NASA beispielsweise hat eine Funktion zur Beschreibung der Geschwindigkeit einer Rakete, basierend auf dem Treibstoffverbrauch, dem Windwiderstand und dem Gewicht der Rakete.

3. Denken Sie an das Konzept der Unendlichkeit. Unendlichkeit ist die kontinuierliche Wiederholung eines Prozesses. Es ist kein bestimmter Ort (Sie können nicht ins Unendliche gehen), sondern eher das Verhalten einer Zahl oder Gleichung, wenn es für immer gemacht wird. Dies ist wichtig, um Veränderungen zu untersuchen: Sie möchten vielleicht wissen, wie schnell sich Ihr Auto zu einem bestimmten Zeitpunkt bewegt, aber bewegt sich Ihr Auto in der aktuellen Sekunde so schnell?? Millisekunde? Nanosekunde? Sie können unendlich kleinere Zeitabschnitte finden, um noch genauer zu sein, und dann beginnt die Analyse.

4. Das Konzept der Grenzen verstehen. Eine Grenze sagt dir, was passiert, wenn sich etwas der Unendlichkeit nähert. Nimm die Zahl 1 und dividiere sie durch 2. Immer wieder durch 2 teilen. Aus 1 wird ½ und dann 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 usw. Jedes Mal wird die Zahl kleiner und kleiner, „näher an“ Null. Aber wo hört es auf? Wie oft muss man 1 durch 2 teilen, um Null zu erhalten?? Anstatt diese Frage zu beantworten, schlagen Sie in der Analyse vor, Grenze In diesem Fall ist die Grenze.

Grenzen lassen sich am einfachsten auf einem Graphen visualisieren – gibt es zum Beispiel Punkte, die nahe daran sind, einen Graphen zu berühren, aber nie ganz?

Grenzen können zahlreich, unendlich oder gar nicht vorhanden sein. Zum Beispiel mit der Additionsfolge 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... und das geht unendlich weiter, dann wird die Endzahl unendlich groß. Die Grenze wird dann unendlich.

5. Gehen Sie die wesentlichen mathematischen Konzepte der Algebra, Trigonometrie und die Grundlagen der Mathematik durch. Die Analyse basiert auf einem Großteil der Mathematik, die Sie zuvor gelernt haben. Die Versiertheit in allen Themenbereichen erleichtert das Erlernen und Verstehen der Analyse erheblich. Einige Themen, zu denen Sie Ihr Wissen auffrischen sollten, sind:

Algebra. Sie müssen die verschiedenen Prozesse verstehen und Gleichungen und Gleichungssysteme mit mehreren Variablen lösen können. Verstehen Sie die Grundlagen von Sammlungen. Üben Sie das Erstellen von Grafiken.

Geometrie. Geometrie ist das Studium der Formen. Sie sollten die Grundkenntnisse von Dreiecken, Rechtecken und Kreisen haben und wie man Dinge wie Umfang und Fläche berechnet. Winkel, Linien und Koordinaten verstehen

Trigonometrie. Trigonometrie ist der Zweig der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften von Kreisen und rechtwinkligen Dreiecken beschäftigt. Wissen, wie man trigonometrische Identitäten, Graphen, Funktionen und inverse trigonometrische Funktionen verwendet.

6. Holen Sie sich einen Grafikrechner. Die Analyse ist nicht leicht zu verstehen, ohne zu sehen, was Sie tun. Graphische Taschenrechner machen Funktionen sichtbar, damit Sie besser verstehen können, mit welchen Gleichungen Sie es zu tun haben. Oft werden auch die Limits auf dem Bildschirm angezeigt und die Ableitungen und Funktionen automatisch berechnet.

Viele Smartphones und Tablets bieten heute günstige, aber effektive Grafik-Apps an, wenn Sie keinen Grafikrechner kaufen möchten oder können.

Teil 2 von 3: Derivate verstehen

1. Die Analyse wird verwendet, um „Veränderung zu einem bestimmten Zeitpunkt“ zu untersuchen. Zu wissen, warum sich etwas zu einem bestimmten Zeitpunkt ändert, ist der Kern der Analyse. Die Analyse gibt Ihnen beispielsweise nicht nur die Geschwindigkeit eines Autos, sondern auch, wie stark sich diese Geschwindigkeit in einem bestimmten Moment ändert. Dies ist eine der einfachsten Anwendungen der Analyse, aber sehr wichtig. Stellen Sie sich vor, wie wichtig solche Informationen sind, um die Geschwindigkeit zu bestimmen, die erforderlich ist, um ein Raumschiff zum Mond zu bringen!

Die Bestimmung der Veränderung zu einem bestimmten Zeitpunkt hat unterscheiden. Die Differenzierung ist der erste der beiden Hauptzweige der Analyse.

2. Verwenden Sie Derivate, um zu verstehen, wie sich die Dinge zu einem bestimmten Zeitpunkt ändern. Ein `Derivat` ist ein schickes Wort für etwas, das Schüler oft nervös macht. Das Konzept selbst ist jedoch nicht so schwer zu verstehen - es bedeutet nur "wie schnell sich etwas ändert". Die Ableitungen, denen Sie im täglichen Leben am häufigsten begegnen werden, haben mit Geschwindigkeit zu tun. Sie nennen es jedoch normalerweise nicht "die Ableitung der Geschwindigkeit", sondern einfach "Beschleunigung".

Beschleunigung ist eine Ableitung – sie sagt Ihnen, wie schnell etwas beschleunigt oder verlangsamt, d. h. wie sich seine Geschwindigkeit ändert.

3. Wisse, dass die Änderungsrate gleich der Steigung zwischen zwei Punkten ist. Dies ist eine der wichtigsten Entdeckungen der Analyse. Die Änderungsrate zwischen zwei Punkten ist gleich der Steigung der Linie zwischen diesen beiden Punkten. Denken Sie nur an eine einfache Linie, wie die der Gleichung

ja = 3 x .

$y=3x$ Die Steigung der Geraden beträgt 3, was bedeutet, dass für jeden neuen Wert von

x,

$X,$

ja

$ja$ ändert sich um 3. Die Steigung ist gleich der Änderungsrate: Eine Steigung von 3 bedeutet, dass sich die Linie für jede Änderung in um 3 ändert (dreimal größer wird)

x .

$X$ Wann

x = 2, ja = 6;

$x=2,y=6;$ Wenn

x = 3, ja = 9.

$x=3,y=9$

Die Steigung der Geraden ist die Änderung von y geteilt durch die Änderung von x`.`

Je größer die Steigung die Steigung, desto steiler die Linie. Steile Linienwechsel stellen daher einen schnellen Wechsel dar.

Frischen Sie Ihr Wissen über die Bestimmung der Steigung einer Linie auf, wenn sie etwas abgesunken ist.

4. Wisse, dass du die Steigung von gekrümmten Linien bestimmen kannst. Die Steigung einer Geraden zu bestimmen ist relativ einfach: Wie viel ändert sich

ja

$ja$ für jeden Wert von

x ?

$X?$ Aber komplexe Gleichungen wie

ja = x 2

$y=x^{{2}}$ für eine Kurve, sind viel schwieriger zu bestimmen. Sie können jedoch immer noch die Änderungsrate zwischen zwei Punkten bestimmen – ziehen Sie einfach eine Linie zwischen den beiden Punkten und berechnen Sie die Steigung.

Zum Beispiel in

ja = x 2,

$y=x^{{2}},$ Sie können zwei beliebige Punkte auswählen und die Steigung berechnen. nehmen

(1, 1)

$(1,1)$ und

(2, 4) .

$(2.4)$ Die Steigung zwischen diesen Punkten ist dann gleich

4 - 1 2 - 1 = \frac{4}{2} = 2.

${frac{4-1}{2-1}}={frac{4}{2}}=2$ Dies bedeutet, dass der Wechsel zwischen

x = 1

$x=1$ und

x = 2

$x=2$ entspricht 2.

5. Wenn Sie die Änderung genauer berechnen möchten, stellen Sie sicher, dass die Punkte näher beieinander liegen. Je näher du die beiden Punkte wählst, desto genauer ist deine Antwort. Angenommen, Sie möchten wissen, wie stark Ihr Auto beschleunigt, wenn Sie das Gaspedal betätigen. Sie möchten nicht die Geschwindigkeitsänderung zwischen Ihrem Zuhause und dem Supermarkt messen, sondern die Geschwindigkeitsänderung ab dem Moment, in dem Sie auf das Gaspedal treten. Je näher Ihr Messwert diesem Bruchteil einer Sekunde kommt, desto genauer ist Ihre Berechnung der Änderung.

Wissenschaftler untersuchen zum Beispiel, wie schnell manche Arten aussterben, um sie zu retten. Im Winter sterben jedoch mehr Tiere als im Sommer, daher ist es nicht sinnvoll, die Änderungsrate über das ganze Jahr zu untersuchen - es ist besser, die Änderungsrate in einem kleineren Zeitraum zu bestimmen, z. B. vom 1. Juli bis 1. August.

6. Verwenden Sie unendlich kurze Linien, um die `momentane Änderungsrate` zu bestimmen, oder finden Sie die Ableitung. Hier wird die Analyse oft etwas verwirrend, aber das ist eigentlich das Ergebnis von zwei einfachen Tatsachen. Zunächst einmal wissen Sie, dass die Steigung einer Linie gleich der Geschwindigkeit ist, mit der sich diese Linie ändert. Zweitens wissen Sie, dass die Ablesung umso genauer wird, je näher die Punkte der Linie beieinander liegen. Aber wie findet man die Änderungsrate an einem bestimmten Punkt, wenn die Steigung die Beziehung zwischen zwei Punkten ist? Die Antwort: Du wählst zwei Punkte, die unendlich nah beieinander liegen.

Denken Sie an das Beispiel, in dem Sie 1 durch 2 teilen und damit 1/2, 1/4, 1/8 usw. bekommt. Am Ende kommst du also nahe null und die Antwort ist `fast null`. Die Punkte liegen so nah beieinander, dass sie „fast gleich“ sind. Das liegt in der Natur von Derivaten.

7. Erfahren Sie, wie Sie verschiedene Derivate bestimmen. Es gibt viele verschiedene Techniken, um eine Ableitung abhängig von der Gleichung zu finden, aber die meisten von ihnen machen Sinn, wenn Sie sich an die Grundlagen der Ableitungen oben erinnern. Alle Ableitungen sind eine Möglichkeit, die Steigung einer `unendlich kleinen` Geraden zu bestimmen. Jetzt, da Sie mehr über die Ableitungstheorie wissen, besteht ein Großteil der Arbeit darin, die Antworten zu finden.

8. Bestimmen Sie die Ableitungsgleichungen, um die Änderungsrate jederzeit vorherzusagen. Es ist nützlich, die Änderungsrate zu einem bestimmten Zeitpunkt mithilfe von Ableitungen zu bestimmen, aber das Schöne an der Analyse ist, dass Sie für jede Funktion ein neues Modell erstellen können. Die Ableitung von

ja = x 2,

$y=x^{{2}},$ zum Beispiel ist

ja Sex = 2 x .

$y^{{prime}}=2x$ Dies bedeutet, dass Sie die Ableitung für jeden Punkt in einem Graphen finden können

ja = x 2

$y=x^{{2}}$ durch Einsetzen in die Ableitung. Auf den Punkt

(2, 4),

$(2.4),$ wodurch

x = 2,

$x=2,$ ist die Ableitung 4, denn

ja Sex = 2 (2) .

$y^{{prime}}=2(2)$

Es gibt verschiedene Notationen für Derivate. Im vorherigen Schritt wurden Ableitungen mit einem Caretzeichen angegeben – die Ableitung von

ja,

$y,$ dann schreib es auf als

ja Sex .

$y^{{prime}}$ Dies nennt man Lagranges Notation.

Es gibt einen anderen Weg, der oft verwendet wird, um Derivate zu schreiben. Statt mit Bedacht merkst du

D D x .

${frac{{textrm{d}}}{{textrm{d}}x}}$ Denken Sie daran, dass die Funktion

ja = x 2

$y=x^{{2}}$ hängt von der variablen ab

x .

$X$ Also schreiben wir die Ableitung als

D ja D x

${frac{{textrm{d}}y}{{textrm{d}}x}}$ --- die Ableitung von

ja

$ja$ noch bis

x .

$X$ Dies nennt man Leibniz .-Notation.

9. Versuchen Sie, sich an praktische Beispiele für Derivate zu erinnern, wenn Sie dies schwer verständlich finden. Das einfachste Beispiel basiert auf Geschwindigkeit und umfasst viele verschiedene Derivate, denen wir täglich begegnen. Vergessen Sie nicht: ein Derivat ist ein Maß dafür, wie schnell sich etwas ändert. Denken Sie an ein einfaches Experiment. Sie rollen eine Murmel auf einem Tisch und messen, wie weit sie sich jedes Mal bewegt und wie schnell. Stellen Sie sich nun vor, dass die rollende Murmel einer Linie in einem Diagramm folgt - Sie verwenden Ableitungen, um die augenblicklichen Änderungen zu jedem Zeitpunkt auf dieser Linie zu messen.

Wie schnell bewegt sich die Murmel?? Mit welcher Geschwindigkeit ändert sich die Position (oder Ableitung) der sich bewegenden Murmel?? Wir nennen diese Ableitung `Geschwindigkeit`.

Rollen Sie die Murmel eine Rampe hinunter und sehen Sie, wie sich die Geschwindigkeit ändert. Wie hoch ist die Änderungsrate oder Ableitung der Geschwindigkeit der Murmel?? Diese Ableitung nennen wir "Beschleunigung".

Rollen Sie die Murmel wie eine Achterbahn über eine wellige Bahn. Wie stark gewinnt die Murmel beim Herunterrollen an Geschwindigkeit und wie stark verlangsamt sich die Murmel bergauf?? Wie schnell geht die Murmel genau, wenn sie den ersten Hügel auf halbem Weg ist?? Dies ist dann die momentane Änderungsrate oder die Ableitung dieser Murmel an diesem einen bestimmten Punkt.

Teil3 von 3: Integrale verstehen

1. Wissen Sie, dass Sie mithilfe von Analysen komplexe Bereiche und Volumina finden können. Mit der Analyse können Sie komplexe Formen messen, die sonst schwer zu messen sind. Denken Sie zum Beispiel an die Frage, wie viel Wasser sich in einem langen, unregelmäßig geformten See befindet – es ist unmöglich, jeden Liter Wasser einzeln zu messen oder die Form des Sees mit einem Lineal zu messen. Mit der Analyse können Sie untersuchen, wie sich die Ränder des Sees verändern, und dann anhand dieser Informationen herausfinden, wie viel Wasser er enthält.

Das Anfertigen von geometrischen Modellen und das Studium von Volumen hat integrieren. Integralrechnung ist der zweite wichtige Zweig der Analysis.

2. Wisse, dass Integration die Fläche unter einem Graphen ist. Die Integration wird verwendet, um den Raum unter einer Linie zu messen, wodurch Sie den Bereich von seltsamen oder unregelmäßigen Formen bestimmen können. Nimm die Gleichung

ja = 4 - x 2,

$y=4-x^{{2}},$ Das sieht aus wie ein umgekehrtes `U`. Sie können mit der Integralrechnung berechnen, wie viel Platz unter dem U ist. Sie fragen sich vielleicht, was das soll, aber denken Sie über die Verwendung in den Herstellungsprozessen nach – Sie können eine Funktion erstellen, die wie ein neues Teil aussieht, und Integrale Arithmetik verwenden, um die Fläche dieses Teils zu finden und zu helfen Ihnen, die richtige Menge an Material zu bestellen.

3. Wählen Sie einen zu integrierenden Bereich aus. Sie können nicht einfach eine ganze Funktion integrieren. Zum Beispiel,

ja = x

$y=x$ ist eine diagonale Linie, die ewig geht, und das Ganze kann man nicht integrieren, weil es nie aufhören würde. Bei der Integration von Funktionen müssen Sie einen Bereich auswählen, z. B. alle Punkte zwischen

x = 2

$x=2$ und

x = 5.

$x=5$

4. Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks?. Angenommen, Sie haben eine flache Linie über einem Diagramm, wie z

ja = 4.

$y=4$ Um die Fläche darunter zu finden, suchen Sie die Fläche eines Rechtecks zwischen

ja = 0

$y=0$ und

ja = 4.

$y=4$ Dies ist leicht zu messen, funktioniert jedoch nicht mit Wellenlinien, da Sie sie nicht einfach in Rechtecke umwandeln können.

5. Wisse, dass in der Integralrechnung viele kleine Rechtecke addiert werden, um die Fläche einer Fläche zu finden. Wenn man eine Kurve enorm vergrößert, sieht sie aus wie eine gerade Linie. Das sieht man jeden Tag – man kann die Erdkrümmung nicht sehen, weil man so nah an der Erdoberfläche ist. Die Integration erzeugt eine unendliche Anzahl kleiner Rechtecke unter einer Kurve, die so klein sind, dass sie im Grunde flach sind, sodass Sie sie zählen können. Alle diese Rechtecke zusammengenommen bilden die Fläche der Fläche unter einer Kurve.

Angenommen, Sie addieren viele kleine Segmente unter dem Diagramm und die Breite jedes Segments fast Null ist.

6. Wissen, wie man Integrale richtig liest und schreibt. Integrale bestehen aus 4 Teilen. Ein typisches Integral sieht so aus:

\int F (x) D x

$int f(x){mathrm{d}}x$

Das erste Symbol,

\int,

$int ,$ ist das Symbol für Integration (das ist eigentlich ein gestrecktes S).

Der zweite Teil,

F (x),

$f(x),$ ist die Funktion. Liegt es innerhalb des Integrals, heißt es de Integral-.

Und schließlich die

D x

${mathrm{d}}x$ am Ende, die Ihnen sagt, welche Variable Sie integrieren und wozu. Da die Funktion

F (x)

$f(x)$ es hängt davon ab

x,

$X,$ ist das, wohin du dich integrierst.

Denken Sie daran, dass die Variable, die Sie integrieren, möglicherweise nicht immer

x,

$X,$ sein wird, also sei vorsichtig, was du aufschreibst.

7. Erfahren Sie mehr über das Finden von Integralen. Integralrechnung gibt es in vielen Formen, und Sie müssen viele verschiedene Formeln lernen, um jede Funktion zu integrieren. Sie alle folgen jedoch den oben skizzierten Prinzipien: Integration ist die Summe von unendlich vielen Dingen.

Integrieren durch Substitution.

Berechnung unbestimmter Integrale.

Integrieren durch Teilen.

8. Wisse, dass Integration die Umkehrung der Differentiation ist und umgekehrt. Dies ist eine so wichtige Faustregel der Analyse, dass ihr ein eigener Name gegeben wurde: Fundamental Theorem of Integral Account. Da Integration und Differenzierung so eng miteinander verbunden sind, kann eine Kombination aus beiden verwendet werden, um die Änderungsrate, Beschleunigung, Geschwindigkeit, Lage, Bewegung usw. zu messen. zu bestimmen, egal welche Informationen Sie haben.

Denken Sie beispielsweise daran, dass die Ableitung der Geschwindigkeit die Beschleunigung ist, sodass Sie die Geschwindigkeit verwenden können, um die Beschleunigung zu finden. Aber wenn Sie nur die Beschleunigung von etwas kennen (z. B. von Objekten, die aufgrund der Schwerkraft fallen), können Sie integrieren, um die Geschwindigkeit wieder zu finden!

9. Wissen Sie, dass Sie mit der Integration auch das Volumen von 3D-Objekten steuern können. Das Drehen einer flachen Form ist eine Möglichkeit, 3D-Volumenkörper zu erstellen. Stellen Sie sich vor, wie sich eine Münze auf dem Tisch dreht – beachten Sie, wie die Münze beim Drehen die Form einer Kugel annimmt. Dieses Konzept ermöglicht es Ihnen, das Volumen durch einen Prozess zu bestimmen, der als "Volumen durch Rotation" bekannt ist.

Auf diese Weise können Sie das Volumen jedes Festkörpers bestimmen, solange Sie eine Funktion haben, die es darstellt. Sie können beispielsweise eine Funktion erstellen, die dem Grund eines Sees folgt, und dann damit das Volumen des Sees oder die Wassermenge bestimmen.

Tipps

Übung macht den Meister, also mach die Übungsaufgaben in deinem Lehrbuch – auch die, die dein Lehrer nicht spezifiziert hat – und überprüfe deine Antworten, damit du die Konzepte besser verstehst.
Wenn du etwas nicht herausfinden kannst, frag deinen Lehrer.

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