Logarithmen teilen

Schritte
- Methode 1 von 2: Logarithmen von Hand dividieren
- Methode 2 von 2: Arbeiten mit dem Logarithmus eines Quotienten

Logarithmen mögen schwierig aussehen, aber genau wie Exponenten oder Polynome müssen Sie nur die richtigen Techniken erlernen. Sie müssen nur ein paar grundlegende Eigenschaften kennen, um zwei Logarithmen mit derselben Basis zu teilen oder einen Logarithmus um einen Quotienten zu erweitern.

Schritte

Methode 1 von 2: Logarithmen von Hand dividieren

1. Auf negative Zahlen und Einsen prüfen. Diese Methode behandelt Probleme in der Form

Protokoll B (x) Protokoll B (ein)

${displaystyle {frac {log_{b}(x)}{log_{b}(a)}}}$ . In einigen Sonderfällen funktioniert es jedoch nicht:

Der Logarithmus einer negativen Zahl ist nicht für alle Basen definiert (wie $Protokoll (- 3)$ ${displaystyle log(-3)}$ oder $Protokoll 4 (- 5)$ ${displaystyle log_{4}(-5)}$ ). Dann schreibe `Keine Lösung`.
Auch der Logarithmus von Null ist für alle Basen undefiniert. Wenn Sie einen Begriff wie sehen $\ln (0)$ ${displaystyle ln(0)}$ , dann schreibe auch `Keine Lösung`.
Der Logarithmus von Eins in jeder Basis ( $Protokoll (1)$ ${displaystyle log(1)}$ ) ist immer gleich Null, da $x 0 = 1$ ${displaystyle x^{0}=1}$ für alle Werte von x. Ersetzen Sie diesen Logarithmus durch 1, anstatt die folgende Methode zu verwenden.
Wenn die beiden Logarithmen unterschiedliche Basen haben, wie z $l Ö g 3 (x) l Ö g 4 (ein)$ ${displaystyle {frac {log_{3}(x)}{log_{4}(a)}}}$ , und Sie können keines von beiden auf eine ganze Zahl vereinfachen, dann kann das Problem nicht von Hand gelöst werden.

2. Bearbeiten Sie den Ausdruck in einem Logarithmus. Angenommen, Sie haben keine der oben genannten Ausnahmen gefunden, können Sie das Problem jetzt in einen Logarithmus vereinfachen. Verwenden Sie dazu die Formel

Protokoll B (x) Protokoll B (ein) = {Protokoll}_{ein} (x)

${displaystyle {frac {log_{b}(x)}{log_{b}(a)}}=log_{a}(x)}$ .

Beispiel 1: Lösen Sie:

Protokoll 16 Protokoll 2

${displaystyle {frac {log {16}}{log {2}}}}$ .
Beginnen Sie damit, dies mit der obigen Formel in einen Logarithmus umzuwandeln:

Protokoll 16 Protokoll 2 = {Protokoll}_{2} (16)

${displaystyle {frac {log {16}}{log {2}}}=log_{2}(16)}$ .

Diese Formel ist die `Basisänderung`-Formel, abgeleitet von den logarithmischen Grundeigenschaften.

3. Berechnen Sie dies wenn möglich von Hand. Denken Sie daran: om

Protokoll ein (x)

${displaystyle log_{a}(x)}$ zu lösen, denkst du an `

ein ? = x

${displaystyle a^{?}=x}$ “ oder „Welchen Exponenten kann ich verwenden? ein erhöhen auf x bekommen?` Ohne Taschenrechner ist das nicht immer zu lösen, aber wenn man Glück hat, erhält man einen leicht vereinfachten Logarithmus.

Beispiel 1 (Fortsetzung.): Umschreiben

Protokoll 2 (16)

${displaystyle log_{2}(16)}$ wenn

2 ? = 16

${displaystyle 2^{?}=16}$ . Der Wert von `?` ist die Antwort auf das Problem. Möglicherweise müssen Sie einige ausprobieren, um es zu finden:

22 = 2 * 2 = 4

${displaystyle 2^{2}=2*2=4}$

23 = 4 * 2 = 8

${displaystyle 2^{3}=4*2=8}$

24 = 8 * 2 = 16

${displaystyle 2^{4}=8*2=16}$
16 ist das, wonach du gesucht hast, also

Protokoll 2 (16)

${displaystyle log_{2}(16)}$ = 4.

4. Lassen Sie die Antwort in Logarithmusform, wenn Sie es nicht vereinfachen können. Manche Logarithmen sind von Hand nur sehr schwer zu lösen. Sie brauchen einen Taschenrechner, wenn Sie die Antwort für einen praktischen Zweck benötigen. Wenn Sie Probleme im Mathematikunterricht lösen, erwartet Ihr Lehrer wahrscheinlich, dass Sie die Antwort als Logarithmus hinterlassen. Hier ist ein weiteres Beispiel, das diese Methode für ein kniffligeres Problem verwendet:

Beispiel 2: Was ist

Protokoll 3 (58) Protokoll 3 (7)

${displaystyle {frac {log_{3}(58)}{log_{3}(7)}}}$ ?

Wandeln Sie dies in einen Logarithmus um:

Protokoll 3 (58) Protokoll 3 (7) = {Protokoll}_{7} (58)

${displaystyle {frac {log_{3}(58)}{log_{3}(7)}}=log_{7}(58)}$ .(Notiere dass der ₃ verschwindet in jedem anfänglichen Log -- dies gilt für jede Basis).

Umschreiben als

7 ? = 58

${displaystyle 7^{?}=58}$ und teste mögliche Werte von ?:

72 = 7 * 7 = 49

${displaystyle 7^{2}=7*7=49}$

73 = 49 * 7 = 343

${displaystyle 7^{3}=49*7=343}$
Da 58 zwischen diesen beiden Zahlen liegt, hat

Protokoll 7 (58)

${displaystyle log_{7}(58)}$ keine ganze Zahl als Antwort.

Hinterlassen Sie Ihre Antwort als:

Protokoll 7 (58)

${displaystyle log_{7}(58)}$ .

Methode 2 von 2: Arbeiten mit dem Logarithmus eines Quotienten

1. Beginnen Sie mit einer Divisionsaufgabe in einem Logarithmus. Dieser Abschnitt hilft Ihnen bei der Lösung von Problemen mit Ausdrücken im Formular

Protokoll ein (\frac{x}{ja})

${displaystyle log_{a}({frac {x}{y}})}$ .

Beginnen Sie beispielsweise mit diesem Problem:
`Löse nach n auf, wenn $Protokoll 3 (27 6 n) = - 6 - {Protokoll}_{3} (6)$ ${displaystyle log_{3}({frac {27}{6n}})=-6-log_{3}(6)}$ .`

2. Auf negative Zahlen prüfen. Der Logarithmus einer negativen Zahl ist undefiniert. Wenn x oder y eine negative Zahl sind, prüfen Sie, ob es eine Lösung für das Problem gibt, bevor Sie fortfahren:

Wenn entweder x oder y ist negativ, es gibt keine Lösung für das Problem.

wenn beide x wenn y negativ ist, entfernen Sie die negativen Vorzeichen mit der Eigenschaft

- x - ja = \frac{x}{ja}

${displaystyle {frac {-x}{-y}}={frac {x}{y}}}$

In der Beispielaufgabe gibt es keine Logarithmen negativer Zahlen, also können Sie mit dem nächsten Schritt fortfahren.

3. Teilen Sie den Quotienten in zwei Logarithmen. Eine nützliche Eigenschaft von Logarithmen wird durch die Formel beschrieben:

Protokoll ein (\frac{x}{ja}) = {Protokoll}_{ein} (x) - {Protokoll}_{ein} (ja)

${displaystyle log_{a}({frac {x}{y}})=log_{a}(x)-log_{a}(y)}$ . Mit anderen Worten, der Logarithmus eines Quotienten ist immer gleich dem Logarithmus des Zählers abzüglich des Logarithmus des Nenners.

Verwenden Sie dies, um die linke Seite des Beispielproblems zu erweitern:

Protokoll 3 (27 6 n) = {Protokoll}_{3} (27) - {Protokoll}_{3} (6 n)

${displaystyle log_{3}({frac {27}{6n}})=log_{3}(27)-log_{3}(6n)}$

Setze dies wieder in die ursprüngliche Gleichung ein:

Protokoll 3 (27 6 n) = - 6 - {Protokoll}_{3} (6)

${displaystyle log_{3}({frac {27}{6n}})=-6-log_{3}(6)}$
→

Protokoll 3 (27) - {Protokoll}_{3} (6 n) = - 6 - {Protokoll}_{3} (6)

${displaystyle log_{3}(27)-log_{3}(6n)=-6-log_{3}(6)}$

4. Vereinfachen Sie die Logarithmen, wenn möglich. Wenn einer der neuen Logarithmen im Ausdruck eine ganze Zahl ist, vereinfachen Sie sie jetzt.

Das Beispielproblem hat einen neuen Begriff:

Protokoll 3 (27)

${displaystyle log_{3}(27)}$ . Da 3 = 27, vereinfache

Protokoll 3 (27)

${displaystyle log_{3}(27)}$ böse 3.

Der vollständige Vergleich ist jetzt:

3 - Protokoll 3 (6 n) = - 6 - {Protokoll}_{3} (6)

${displaystyle 3-log_{3}(6n)=-6-log_{3}(6)}$

5. Isolieren Sie die Variable. Wie bei jedem mathematischen Problem hilft es, den Term mit der Variablen auf einer Seite der Gleichung zu isolieren. Eliminieren Sie nach Möglichkeit ähnliche Terme, um die Gleichung zu vereinfachen.

3 - Protokoll 3 (6 n) = - 6 - {Protokoll}_{3} (6)

${displaystyle 3-log_{3}(6n)=-6-log_{3}(6)}$

9 - Protokoll 3 (6 n) = - {Protokoll}_{3} (6)

${displaystyle 9-log_{3}(6n)=-log_{3}(6)}$

Protokoll 3 (6 n) = 9 + {Protokoll}_{3} (6)

${displaystyle log_{3}(6n)=9+log_{3}(6)}$ .

6. Verwenden Sie bei Bedarf zusätzliche Eigenschaften von Logarithmen. Um die Variable von anderen Termen innerhalb desselben Logarithmus zu isolieren, schreiben Sie den Term mit anderen logarithmischen Eigenschaften um.

In der Beispielaufgabe ist die n immer noch gefangen im Begriff

Protokoll 3 (6 n)

${displaystyle log_{3}(6n)}$ .
Rund um die n Verwenden Sie zum Isolieren die Produktregel der Logarithmen:

Protokoll ein (B C) = {Protokoll}_{ein} (B) + Protokoll ein (C)

${displaystyle log_{a}(bc)=log_{a}(b)+log{a}(c)}$

Protokoll 3 (6 n) = {Protokoll}_{3} (6) + {Protokoll}_{3} (n)

${displaystyle log_{3}(6n)=log_{3}(6)+log_{3}(n)}$

Setzen Sie dies wieder in die vollständige Gleichung ein:

Protokoll 3 (6 n) = 9 + {Protokoll}_{3} (6)

${displaystyle log_{3}(6n)=9+log_{3}(6)}$

Protokoll 3 (6) + {Protokoll}_{3} (n) = 9 + {Protokoll}_{3} (6)

${displaystyle log_{3}(6)+log_{3}(n)=9+log_{3}(6)}$

7. Vereinfachen Sie weiter, bis Sie die Lösung gefunden haben. Wiederholen Sie die gleichen algebraischen und logarithmischen Techniken, um das Problem zu lösen. Wenn es keine ganzzahlige Lösung gibt, verwenden Sie einen Taschenrechner und auf die nächste signifikante Zahl runden.