Teilen von matrizen

Wenn Sie wissen, wie man zwei Matrizen miteinander multipliziert, dann sind Sie auf dem besten Weg, eine Matrix durch eine andere Matrix zu „teilen“. Die Division steht in Anführungszeichen, weil Matrizen technisch nicht geteilt werden können. Stattdessen multiplizieren wir die eine Matrix mit invers aus einer anderen Matrix. Diese Berechnungen werden häufig verwendet, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Schritte

Teil 1 von 3: Verstehe, dass „Teilen“ unmöglich ist

Bildtitel Divide Matrizen Step 1
1. Verstehen Sie, was das Teilen einer Matrix bedeutet. Technisch gesehen gibt es keine Matrixdivision. Das Teilen von Matrizen ist keine definierte Funktion. Am nächsten kommt ihm die Multiplikation mit dem Inversen einer anderen Matrix. Mit anderen Worten, obwohl [A] ÷ [B] nicht definiert ist, können Sie das Problem [A] * [B] lösen. Da diese beiden Gleichungen äquivalent zu Skalaren sind, "fühlt" sich dies wie eine Matrixdivision an, aber es ist wichtig, die richtige Terminologie zu verwenden.
  • Beachten Sie, dass [A] * [B] und [B] * [A] nicht dasselbe Problem sind. Möglicherweise müssen Sie beide lösen, um alle möglichen Antworten zu finden.
  • Zum Beispiel statt (13263913)÷(7423){displaystyle {begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}div {begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}div {begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}, schreiben (13263913)*(7423)-1{displaystyle {begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}^{-1}}{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}^{{-1}}.
    vielleicht solltest du das auch (7423)-1*(13263913){displaystyle {begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}^{-1}*{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}^{{-1}}*{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}} berechnen, was zu einer anderen Antwort führen kann.
Bildtitel Divide Matrices Step 2
2. Überprüfen Sie, ob das `Teiler-Matrix`-Quadrat . ist. Um die Inverse einer Matrix bestimmen zu können, muss es sich um eine quadratische Matrix handeln, also mit der gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten. Wenn die Matrix, von der Sie die Inverse finden möchten, keine quadratische Matrix ist, gibt es keine eindeutige Lösung des Problems.
  • Der Begriff `Teilermatrix` ist etwas locker, da es sich nicht wirklich um ein Divisionsproblem handelt. Für [A] * [B] bezieht sich dies auf Matrix [B]. In unserem Beispiel ist das (7423){displaystyle {begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}.
  • Eine Matrix mit einer Inversen wird `invertierbar` oder `nicht singulär` genannt.` Matrizen ohne Inverse sind `Singular`.`
    • Bildtitel Divide Matrizen Step 3
    3. Prüfen Sie, ob die beiden Matrizen miteinander multipliziert werden können. Um zwei Matrizen miteinander zu multiplizieren, muss die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix sein. Wenn dies in beiden Fällen ([A] * [B] oder [B] * [A]) nicht funktioniert, gibt es keine Lösung für das Problem.
  • Wenn beispielsweise [A] eine 4 x 3-Matrix (4 Zeilen, 3 Spalten) und [B] eine 2 x 2-Matrix (2 Zeilen, 2 Spalten) ist, dann gibt es keine Lösung. [A] * [B] funktioniert nicht, weil 3 2, und [B] * [A] funktioniert nicht, weil 2 ≠ 4.
  • Wisse, dass die Inverse [B] immer die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten hat wie die ursprüngliche Matrix [B]. Es ist nicht notwendig, die Umkehrung zu berechnen, um diesen Schritt abzuschließen.
  • In unserem Beispielproblem sind beide Matrizen 2 x 2, also können sie in beliebiger Reihenfolge multipliziert werden.
    • Bildtitel Divide Matrizen Step 4
    4. Bestimmen Sie die Determinante einer 2 x 2 Matrix. Es ist noch eine weitere Prüfung erforderlich, bevor Sie die Inverse einer Matrix bestimmen können. Die Determinante der Matrix kann nicht null sein. Wenn die Determinante null ist, hat die Matrix keine Inverse. So bestimmen Sie die Determinante im einfachsten Fall (der 2 x 2-Matrix):
  • 2×2-Matrix: die Determinante der Matrix (einBCD){displaystyle {begin{pmatrix}a&b\c&dend{pmatrix}}}{begin{pmatrix}a&b\c&dend{pmatrix}} ist Anzeige - bc. Mit anderen Worten, nimm das Produkt der Hauptdiagonalen (oben links nach unten rechts) und ziehe dann das Produkt der Antidiagonalen (oben rechts nach unten links) davon ab.
  • Zum Beispiel die Matrix (7423){displaystyle {begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}} hat die Determinante (7)(3) - (4)(2) = 21 - 8 = 13. Dies ist nicht Null, daher ist es möglich, das Inverse zu bestimmen.
    • Bildtitel Divide Matrices Step 5
    5. Bestimmen Sie die Determinante einer größeren Matrix. Wenn Ihre Matrix 3 x 3 oder größer ist, ist noch etwas Arbeit erforderlich, um die Determinante zu bestimmen:
  • 3 x 3 Matrix: Wählen Sie ein Element und kreuzen Sie die Zeile und Spalte, zu der es gehört. Bestimmen Sie die Determinante der verbleibenden 2 x 2-Matrix, multiplizieren Sie mit dem gewählten Element und führen Sie eine Matrix-Vorzeichentabelle zur Bestimmung des Vorzeichens. Wiederholen Sie dies für die anderen beiden Elemente in derselben Zeile und Spalte wie das erste, das Sie ausgewählt haben, und addieren Sie dann alle drei Determinanten zusammen. Lesen Sie diesen Artikel für Schritt-für-Schritt-Anleitungen und Tipps, um dies schneller zu tun.
  • Größere Matrizen: Die Verwendung eines Grafikrechners oder einer Software wird hier empfohlen. Die Methode ähnelt der einer 3 x 3 Matrix, nimmt jedoch viel Zeit in Anspruch, wenn Sie dies von Hand tun. Um beispielsweise die Determinante einer 4 x 4-Matrix zu finden, müssen Sie zuerst die Determinanten von vier 3 x 3-Matrizen finden.
    • Bildtitel Divide Matrizen Step 6
    6. Fortsetzen. Wenn Ihre Matrix kein Quadrat ist oder ihre Determinante null ist, schreiben Sie sie als "keine eindeutige Lösung". Das Problem ist gelöst. Wenn die Matrix ein Quadrat ist und ihre Determinante nicht Null ist, springen Sie zum nächsten Teil für den nächsten Schritt: Finden der Umkehrung.

    Teil 2 von 3: Invertieren der Matrix

    Bildtitel Divide Matrizen Step 7
    1. Vertauschen Sie die Positionen der Elemente der 2 x 2 Hauptdiagonalen. Wenn Sie es mit einer 2 x 2 Matrix zu tun haben, können Sie eine Verknüpfung verwenden, um diese Berechnung viel einfacher zu machen. Der erste Schritt dieser schnellen Lösung besteht darin, das obere linke Element mit dem unteren rechten Element zu tauschen. Zum Beispiel:
    • (7423){displaystyle {begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}} → (3427){displaystyle {begin{pmatrix}3&4\2&7end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}3&4\2&7end{pmatrix}}
    • Anmerkung: Die meisten Leute verwenden einen Taschenrechner, um die Inverse einer 3 x 3-Matrix (oder größer) zu bestimmen. Wenn Sie dies noch von Hand berechnen möchten, sehen Sie sich das Ende dieses Teils an.
    Bildtitel Divide Matrizen Step 8
    2. Nimm das Gegenteil der anderen beiden Elemente, aber belasse sie in dieser Position. Mit anderen Worten, multiplizieren Sie die Spitze beurteilen und unten links-Elemente mit-1:
  • (3427){displaystyle {begin{pmatrix}3&4\2&7end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}3&4\2&7end{pmatrix}} → (3-4-27){displaystyle {begin{pmatrix}3&-4\-2&7end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}3&-4\-2&7end{pmatrix}}
    • Bildtitel Divide Matrizen Step 9
    3. Nimm den Kehrwert der Determinante. Sie haben die Determinante dieser Matrix im obigen Abschnitt gefunden, sodass Sie sie nicht erneut berechnen müssen. Schreiben Sie einfach den Kehrwert von 1/(Determinante):
  • In unserem Beispiel ist die Determinante 13. Der Kehrwert davon ist 113{displaystyle {frac {1}{13}}}{frac{1}{13}}.
    • Bildtitel Divide Matrizen Step 10
    4. Multiplizieren Sie die neue Matrix mit dem Kehrwert der Determinante. Multiplizieren Sie jedes Element der neuen Matrix mit dem soeben gefundenen Kehrwert. Die resultierende Matrix ist die Umkehrung der 2 x 2-Matrix:
  • 113*(3-4-27){displaystyle {frac {1}{13}}*{begin{pmatrix}3&-4\-2&7end{pmatrix}}}{frac{1}{13}}*{begin{pmatrix}3&-4\-2&7end{pmatrix}}
    =(313-413-213713){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}}\{frac{-2}{13}}&{frac{7} {13}}end{pmatrix}}
    • Bildtitel Divide Matrizen Step 11
    5. Bestätige, dass die Umkehrung richtig ist. Um deine Arbeit zu überprüfen, multipliziere die Umkehrung mit der ursprünglichen Matrix. Wenn die Umkehrung richtig ist, dann ist ihr Produkt immer die Identität der Matrix, (1001){displaystyle {begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}} Wenn es mathematisch korrekt ist, fahren Sie mit dem nächsten Abschnitt fort, um die Problemausarbeitung abzuschließen.
  • Für das Beispielproblem multiplizieren wir (313-413-213713)*(7423)=(1001){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}={begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}}\{frac{-2}{13}}&{frac{7} {13}}end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}={begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix }}.
  • Siehe Wikihow für weitere Informationen zum Multiplizieren von Matrizen.
  • Hinweis: Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ: Die Reihenfolge der Faktoren ist wichtig. Beim Multiplizieren einer Matrix mit ihrer Inversen ergeben beide die Identitätsmatrix.
    • Bildtitel Divide Matrizen Step 12
    6.Bestimmen Sie die Matrixinversion einer 3 x 3 Matrix oder größer. Sofern Sie mit diesem Verfahren nicht noch nicht vertraut sind, können Sie sich viel Zeit sparen, indem Sie einen Grafikrechner oder eine Mathematiksoftware auf größeren Matrizen verwenden. Wenn Sie es von Hand berechnen müssen, finden Sie hier eine kurze Zusammenfassung einer Methode, die Sie verwenden können:
  • Fügen Sie die Identitätsmatrix I auf der rechten Seite Ihrer Matrix hinzu. Zum Beispiel [B] → [B | ICH ]. Die Identitätsmatrix hat `1`-Elemente entlang der Hauptdiagonalen und `0`-Elemente an allen anderen Positionen.
  • Führen Sie Zeilenoperationen durch, um die Matrix zu reduzieren, bis die linke Seite in Zeilenstufenform ist, und fahren Sie dann mit der Reduzierung fort, bis die linke Seite die Identitätsmatrix ist.
  • Wenn die gesamte Operation abgeschlossen ist, hat Ihre Matrix die Form [I | B]. Mit anderen Worten, die rechte Seite wird die Umkehrung der ursprünglichen Matrix.

    • Teil 3 von 3: Multiplizieren Sie die Matrizen, um das Problem zu lösen

    Bildtitel Divide Matrizen Step 13
    1. Schreiben Sie beide möglichen Gleichungen auf. In der "gewöhnlichen Mathematik" mit Skalaren ist die Multiplikation kommutativ; 2 x 6 = 6 x 2. Dies gilt nicht für Matrizen, sodass Sie möglicherweise zwei Probleme lösen müssen:
    • [A] * [B] ist die Lösung x für problem x[B] = [A].
    • [B] * [A] ist die Lösung x für Problem [B]x = [A].
    • Wenn dies Teil einer Gleichung ist, stellen Sie sicher, dass Sie dieselbe Operation auf beide Seiten der Gleichung anwenden. Wenn [A] = [C], dann ist [B][A] nicht gleich [C][B], weil [B] links von [A], aber rechts von [C] liegt.
    Bildtitel Divide Matrizen Step 14
    2. Bestimmen Sie die Dimensionen Ihrer Antwort. Die Dimensionen der endgültigen Matrix sind die äußeren Dimensionen der beiden Faktoren. Sie hat die gleiche Anzahl von Zeilen wie die erste Matrix und die gleiche Anzahl von Spalten wie die zweite Matrix.
  • Zurück zum ursprünglichen Beispiel: beides (13263913){displaystyle {begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}} und (313-413-213713){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}}\{frac{-2}{13}}&{frac{7} {13}}end{pmatrix}} sind 2 x 2 Matrizen, also sind die Dimensionen der Antwort auch 2 x 2.
  • Um ein etwas komplizierteres Beispiel zu nehmen: wenn [A] a . ist 4 x ist eine 3-Matrix und [B] ist eine 3 x 3 Matrix, dann hat die Matrix [A] * [B] die Dimensionen 4 x 3.
    • Bildtitel Divide Matrices Step 15
    3. Bestimmen Sie den Wert des ersten Elements. Sehen Sie sich den verlinkten Artikel an, um detaillierte Anweisungen zu erhalten, oder aktualisieren Sie Ihr Wissen mit dieser Zusammenfassung:
  • Um Zeile 1, Spalte 1 von [A][B] zu finden, ermitteln Sie das Skalarprodukt von [A] Zeile 1 und [B] Spalte 1. Für eine 2 x 2-Matrix berechnen Sie also ein1,1*B1,1+ein1,2*B2,1{displaystyle a_{1,1}*b_{1,1}+a_{1,2}*b_{2,1}}a_{{1,1}}*b_{{1,1}}+a_{{1,2}}*b_{{2,1}}.
  • In unserem Beispiel (13263913)*(313-413-213713){displaystyle {begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}} \{frac{-2}{13}}&{frac{7}{13}}end{pmatrix}}, ist Zeile 1 Spalte 1 Ihrer Antwort:
    (13*313)+(26*-213){displaystyle (13*{frac {3}{13}})+(26*{frac {-2}{13}})}(13*{frac{3}{13}})+(26*{frac{-2}{13}})
    =3+-4{displaystyle =3+-4}=3+-4
    =-1{displaystyle =-1}=-1
    • Bildtitel Divide Matrizen Step 16
    4. Berechnen Sie das Skalarprodukt für jede Position in Ihrer Matrix. Zum Beispiel ist das Element an Position 2.1 das Skalarprodukt von [A] Zeile 2 und [B] Spalte 1. Versuchen Sie das Beispiel selbst auszuarbeiten. Sie sollten folgende Antworten erhalten:
  • (13263913)*(313-413-213713)=(-1107-5){displaystyle {begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-1&10\7&-5end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}} \{frac{-2}{13}}&{frac{7}{13}}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-1&10\7&-5end {pmatrix}}
  • Und die andere Lösung: (313-413-213713)*(13263913)=(-92193){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-9&2\19&3end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}}\{frac{-2}{13}}&{frac{7} {13}}end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-9&2\19&3end{ pmmatrix}}

    • Tipps

    • Sie können eine Matrix durch einen Skalar dividieren, indem Sie jedes Element der Matrix durch den Skalar dividieren.
    • Zum Beispiel die Matrix (6824){displaystyle {begin{pmatrix}6&8\2&4end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}6&8\2&4end{pmatrix}} geteilt durch 2 = (3412){displaystyle {begin{pmatrix}3&4\1&2end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}3&4\1&2end{pmatrix}}

    Warnungen

    • Taschenrechner sind in der Matrix-Mathematik nicht immer zu 100 % genau. Wenn Ihr Taschenrechner beispielsweise angibt, dass ein Element einen sehr kleinen Wert hat (z. 2E), dann ist der Wert wahrscheinlich null.

    De.FaqCartx.info / Bildung & kommunikation
    Оцените, пожалуйста статью
    Erstellen sie eine graphic novel
    Erstellen sie eine graphic novel
    Vorsprechen für x factor
    Vorsprechen für x factor
    Modelliermasse aushärten lassen
    Modelliermasse aushärten lassen
    Ein sparschwein bauen
    Ein sparschwein bauen
    Qr-code erstellen
    Qr-code erstellen
    Neue freunde in der high school finden
    Neue freunde in der high school finden