Die umkehrung einer quadratischen gleichung finden

Umkehrfunktionen können bei der Lösung vieler mathematischer Probleme sehr hilfreich sein. In der Lage zu sein, eine Funktion zu nehmen und ihre Umkehrfunktion zu finden, ist ein mächtiges Werkzeug. Bei quadratischen Gleichungen kann dies jedoch ein ziemlich komplizierter Vorgang sein. Zuerst müssen Sie die Gleichung sorgfältig definieren, indem Sie einen geeigneten Bereich und einen geeigneten Bereich bestimmen. Sie haben dann die Wahl zwischen drei Methoden zur Berechnung der Umkehrfunktion. Die Wahl der Methode ist hauptsächlich eine Frage der persönlichen Vorlieben.

Schritte

Methode 1 von 3: Die Umkehrung einer einfachen Funktion finden

1. Finden Sie eine Funktion in der Form $$ja=einx2+C{displaystyle y=ax^{2}+c}. Wenn Sie für den Anfang die `richtige` Art von Funktion haben, können Sie die Umkehrung mit einfacher Algebra finden. Diese Form ist eine Art Variation von $\mathrm{ja}=\mathrm{ein}{x}^{}$. Wenn Sie dies mit einer quadratischen Standardfunktion vergleichen, $\mathrm{ja}=\mathrm{ein}{x}^{}$, Sehen Sie, dass die mittlere Frist $Bx$ wird vermisst. Eine andere Art dies zu sagen ist, dass der Wert von b null ist. Wenn Ihre Funktion diese Form hat, ist es ganz einfach, die Umkehrung zu finden.

• Deine Ausgangsfunktion muss nicht genau so aussehen $\mathrm{ja}=\mathrm{ein}{x}^{}$. Solange Sie es sich ansehen und sehen können, dass die Funktion nur aus besteht $x^{}$ Begriffe und konstante Zahlen, können Sie diese Methode verwenden.
• Angenommen, Sie beginnen mit der Gleichung $2\mathrm{ja}-6+x^{}$. Eine kurze Untersuchung dieser Gleichung zeigt, dass es keine Terme von gibt $x$ zur ersten Macht sein. Diese Gleichung ist ein Kandidat für diese Methode, um eine Umkehrfunktion zu finden.

2. Vereinfachen Sie, indem Sie ähnliche Begriffe kombinieren. Die Anfangsgleichung kann mehrere Terme in einer Kombination aus Addition und Subtraktion haben. Ihr erster Schritt besteht darin, ähnliche Terme zu kombinieren, um die Gleichung zu vereinfachen, und sie in das Standardformat umzuschreiben $\mathrm{ja}=\mathrm{ein}{x}^{}$.

Nehmen Sie den Beispielvergleich $2\mathrm{ja}-6+x^{}$, wobei die y-Terme nach links verschoben werden können, indem a y von beiden Seiten abgezogen wird. Die anderen Begriffe können auf die rechte Seite verschoben werden, indem auf beiden Seiten 6 hinzugefügt werden und $x^{}$ von beiden Seiten abziehen. Die resultierende Gleichung ist $\mathrm{ja}=2x^{}$.

Sehen Sie sich den Beispielvergleich an $\mathrm{ja}=2x^{}$. Es gibt keine Beschränkung der zulässigen Werte von x für diese Gleichung. Sie müssen sich jedoch bewusst sein, dass dies die Gleichung einer Parabel mit x=0 als Mittelpunkt ist und eine Parabel keine Funktion ist, da sie kein Eins-zu-Eins-Vergleich von x- und y-Werten ist. Um diese Gleichung zu begrenzen und zu einer Funktion zu machen, für die wir eine Inverse finden können, müssen wir das Gebiet als x≥0 . definieren.

Ebenso ist die Reichweite eingeschränkt. Beachten Sie, dass der erste Term, $2x^{}$, wird immer positiv oder 0 sein, für jeden Wert von x. Wenn die Gleichung dann +2 hinzufügt, ist der Bereich ein beliebiger Wert y≥2.

Arbeiten mit dem Beispielvergleich $\mathrm{ja}=2x^{}$, dieser Inversionsschritt führt zu der neuen Gleichung von $x=2{\mathrm{ja}}^{}$.

Ein alternatives Format besteht darin, die y-Terme durch x zu ersetzen, aber die x-Terme durch entweder zu ersetzen ${\mathrm{ja}}^{}$ oder $F(x{)}^{}$ um die Umkehrfunktion anzuzeigen.

5. Schreiben Sie die inverse Gleichung in Bezug auf y . um. Wenn Sie eine Kombination algebraischer Schritte verwenden und sicherstellen, dass auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Operation ausgeführt wird, müssen Sie die Variable y . isolieren. Zum Vergleich $x=2{\mathrm{ja}}^{}$, diese Überarbeitung sieht so aus:

$x=2{\mathrm{ja}}^{}$ (ursprüngliche Prämisse)

$x-2=2{\mathrm{ja}}^{}$ (von beiden Seiten 2 abziehen)

$$ (beide Seiten durch 2 teilen)

±$$ (Quadratwurzel beider Seiten; denken Sie daran, dass die Quadratwurzel sowohl positive als auch negative mögliche Antworten ergibt)

Siehe die Lösung der Beispielgleichung ±$$. Da die Quadratwurzelfunktion für negative Werte nicht definiert ist, muss der Term $$ Sei immer positiv. Daher müssen die zulässigen Werte von x (der Domäne) x≥2 . sein. Damit sind die resultierenden Werte von y (der Bereich) entweder alle Werte y≥0, wenn Sie die positive Lösung der Quadratwurzel nehmen, oder y≤0, wenn Sie die negative Lösung von nehmen die Quadratwurzel. Beachten Sie, dass Sie den Definitionsbereich ursprünglich als x≥0 . definiert haben, um die Umkehrfunktion zu finden. Daher ist die richtige Lösung für die Umkehrfunktion die positive Option.

Vergleiche den Bereich und den Bereich des Inversen mit dem Bereich und Bereich des Originals. Denken Sie daran, dass für die ursprüngliche Funktion, $\mathrm{ja}=2x^{}$, die Domäne wurde als alle Werte von x≥0 definiert und der Bereich wurde als alle Werte von y≥2 . definiert. Für die Umkehrfunktion werden nun diese Werte vertauscht, und die Domäne umfasst alle Werte von x≥2, und der Bereich umfasst alle Werte von y≥0.

Wählen Sie als Beispiel den Wert x=1 für die ursprüngliche Gleichung $\mathrm{ja}=2x^{}$. Dies ergibt das Ergebnis y=4.

Dann setzt du den Wert 4 in die Umkehrfunktion ein $$. Dies ergibt tatsächlich das Ergebnis y=1. Sie können daraus schließen, dass Ihre Umkehrfunktion korrekt ist.

Methode 2 von 3: Das Quadrat vervollständigen, um die Umkehrfunktion zu finden

1. Gib der quadratischen Gleichung die richtige Form. Um die Umkehrung zu finden, musst du mit der Gleichung der Form beginnen $F\left(x\right)=\mathrm{ein}{x}^{}$. Gegebenenfalls müssen Sie ähnliche Terme kombinieren, um die Gleichung in diesem Format zu erhalten. Mit der so geschriebenen Gleichung kannst du etwas mehr darüber erzählen.

• Das erste, was Sie bemerken werden, ist der Wert des Koeffizienten a. wenn ein>0, dann definiert die Gleichung eine Parabel, deren Enden nach oben zeigen (Talparabel). wenn ein<0, dann definiert die Gleichung eine Parabel, deren Enden nach unten zeigen (Bergparabel). Beachten Sie, dass a≠0. Wenn nicht, wäre dies eine lineare Funktion und keine quadratische.

2. Erkennen Sie das Standardformat des quadratischen. Bevor Sie die Umkehrfunktion finden können, müssen Sie die Gleichung in das Standardformat umschreiben. Das Standardformat für eine quadratische Funktion ist $F\left(x\right)=\mathrm{ein}(x-h{)}^{}$. Die numerischen Terme a, h und k werden ausgewertet, wenn Sie die Gleichung umwandeln, indem Sie das Quadrat berechnen.

Beachten Sie, dass diese Standardform aus einem perfekten quadratischen Term besteht, $(x-h{)}^{}$, die dann durch die anderen beiden Elemente a und k . modifiziert wird. Um zu dieser perfekten quadratischen Form zu gelangen, müssen Sie in Ihrer quadratischen Gleichung bestimmte Bedingungen schaffen.

3. Denken Sie an die Form einer perfekten quadratischen Funktion zurück. Denken Sie daran, dass eine quadratische Funktion, die ein perfektes Quadrat ist, aus zwei Binomialen von entsteht $(x+B)(x+B)$, oder $(x+B{)}^{}$. Wenn Sie diese Multiplikation durchführen, erhalten Sie $x^{}$. Der erste Term des Quadrats ist also der erste Term des Binomials, quadriert, und der letzte Term des Quadrats ist das Quadrat des zweiten Terms des Binomials. Der mittlere Term besteht aus dem doppelten Produkt der beiden Terme, in diesem Fall $2*x*B$.

Um das Quadrat zu vervollständigen, in umgekehrter Reihenfolge arbeiten. Sie beginnen mit $x^{}$ und ein zweiter x-Term. Aus dem Koeffizienten dieses Termes, den Sie als `2b` definieren können, müssen Sie erhalten $B^{}$ sehen, um zu finden. Dies erfordert eine Kombination aus Dividieren durch zwei und dann Quadrieren dieses Ergebnisses.

4. Stellen Sie sicher, dass der Koeffizient von $$x2{displaystyle x^{2}} 1 ist. Erinnerst du dich an die ursprüngliche Form der quadratischen Funktion $\mathrm{ein}{x}^{}$. Wenn der erste Koeffizient etwas anderes als 1 ist, müssen Sie alle Terme durch diesen Wert dividieren, um a=1 . zu erhalten.

Nehmen wir zum Beispiel die quadratische Funktion $F\left(x\right)=2x^{}$. Sie können dies vereinfachen, indem Sie alle Terme durch 2 teilen, um die resultierende Funktion zu erhalten $F\left(x\right)=2(x^{}$ bekommen. Der Koeffizient 2 bleibt außerhalb der Klammern und wird Teil Ihrer endgültigen Lösung.

Wenn alle Terme kein Vielfaches von a sind, erhalten Sie Bruchkoeffizienten. Zum Beispiel: die Funktion $F\left(x\right)=3x^{}$ wird vereinfacht zu $F\left(x\right)=3(x^{}$. Rechne die Brüche sorgfältig aus.

5. Finden Sie die Hälfte des mittleren Koeffizienten und quadrieren Sie ihn. Sie haben bereits die ersten beiden Terme der quadratischen Formel. Das sind die Begriffe $x^{}$ und der Koeffizient, der den x-Term repräsentiert. Nimmst du diesen Koeffizienten als seinen Wert, kannst du die Zahl addieren oder subtrahieren, die benötigt wird, um ein perfektes Quadrat zu bilden. Erinnern Sie sich von oben, dass der erforderliche dritte Term des Quadrats dieser zweite Koeffizient ist, geteilt durch zwei, und dann quadriert.

Wenn beispielsweise die ersten beiden Terme Ihrer quadratischen Funktion $x^{}$ Sie finden den notwendigen dritten Term, indem Sie 3 durch 2 (oder 3/2) teilen und dann quadrieren, um 9/4 . zu erhalten. Das quadratische $x^{}$ ist ein perfektes Quadrat.

Ein weiteres Beispiel: Angenommen, die ersten beiden Terme $x^{}$ sind. Die Hälfte des Mittelterms ist -2, und dann quadrieren Sie es, um 4 . zu erhalten. Das resultierende perfekte Quadrat ist $x^{}$.

Angenommen, Sie haben die Funktion $F\left(x\right)=x^{}$. Wie oben erwähnt, verwenden Sie die ersten beiden Terme, um das Quadrat zu vervollständigen. Mit dem mittleren Term von -4x generieren Sie einen dritten Term +4. Addiere 4 und subtrahiere 4 von der Gleichung in der Form $F\left(x\right)=(x^{}$. Die Klammern werden nur gesetzt, um die quadratische Gleichung zu definieren, die Sie erstellen. Beachten Sie die +4 innerhalb der Klammern und die -4 außen. Vereinfache die Zahlen zum Ergebnis $F\left(x\right)=(x^{}$.

7. Faktorisieren Sie die quadratische Gleichung. Das Polynom in Klammern ist eine quadratische Gleichung, die Sie umschreiben können als $(x+B{)}^{}$. Im Beispiel aus dem vorherigen Schritt ($F\left(x\right)=(x^{}$) faktorisieren Sie den quadratischen Faktor in $(x-2{)}^{}$. Kopiere den Rest der Gleichung, sodass deine Lösung $F\left(x\right)=(x-2{)}^{}$ wird. Dies ist die gleiche Funktion wie Ihre ursprüngliche quadratische Gleichung ($F\left(x\right)=x^{}$), umgeschrieben als Standardform $F\left(x\right)=\mathrm{ein}(x-h{)}^{}$.

Weiter mit der Vorschaufunktion arbeiten $F\left(x\right)=(x-2{)}^{}$. Da dies im Standardformat ist, können Sie den Scheitelpunkt als x=2, y=5 . bestimmen. Um die Symmetrie zu vermeiden, arbeiten Sie also nur mit der rechten Seite des Graphen und setzen die Domäne, wenn alle Werte x≥2. Einfügen des Wertes x=2 in die Funktion ergibt y=5. Sie können sehen, dass die Werte von y mit zunehmendem x zunehmen. Daher ist der Bereich dieser Gleichung y≥5.

Weiter mit der Funktion arbeiten $F\left(x\right)=(x-2{)}^{}$. Setzen Sie x anstelle von f(x) ein und fügen Sie y (oder f(x), wenn Sie es vorziehen) anstelle von x . ein. Dies gibt als neue Funktion $x=(\mathrm{ja}-2{)}^{}$.

10. Schreiben Sie die inverse Gleichung in Bezug auf y . um. Isolieren Sie die Variable y . mit einer Kombination algebraischer Schritte und stellen Sie sicher, dass Sie dieselbe Operation gleichmäßig auf beiden Seiten der Gleichung ausführen. Für den Arbeitsvergleich $x=(\mathrm{ja}-2{)}^{}$ diese Überarbeitung sieht so aus:

$x=(\mathrm{ja}-2{)}^{}$ (ursprünglicher Ausgangspunkt)

$x-5=(\mathrm{ja}-2{)}^{}$ (jeweils 5 von beiden Seiten abziehen)

±$$ (Quadratwurzel beider Seiten; denken Sie daran, dass die Quadratwurzel sowohl positive als auch negative mögliche Antworten liefert)

±$$ (addieren Sie 2 zu beiden Seiten)

Siehe die Lösung der Beispielgleichung ±$$. Da die Quadratwurzelfunktion für negative Werte nicht definiert ist, muss der Term $$ Sei immer positiv. Daher müssen die zulässigen Werte von x (der Domäne) x≥5 . sein. Damit als Domäne sind die resultierenden Werte von y (der Bereich) entweder alle Werte y≥2 (wenn Sie die positive Lösung der Quadratwurzel nehmen) oder y≤2 (wenn Sie die negative Lösung wählen der Quadratwurzel). Denken Sie daran, dass Sie den Definitionsbereich ursprünglich als x≥2 definiert haben, um die Umkehrfunktion zu finden. Daher ist die richtige Lösung für die Umkehrfunktion die positive Option.

Wählen Sie als Beispiel den Wert x=3, der in die ursprüngliche Gleichung aufgenommen werden soll $F\left(x\right)=x^{}$ herstellen. Dies ergibt das Ergebnis y=6.

Dann verarbeitest du y=6 in der Umkehrfunktion $$. Dies gibt y=3 zurück, das ist die Zahl, mit der Sie begonnen haben. Sie können daraus schließen, dass Ihre Umkehrfunktion korrekt ist.

Methode 3 von 3: Verwenden der Quadratformel

2. Beginnen Sie mit einer quadratischen Gleichung, um die Umkehrung zu finden. Ihre quadratische Gleichung sollte im Format . beginnen $F\left(x\right)=\mathrm{ein}{x}^{}$. Führen Sie die algebraischen Schritte aus, die erforderlich sind, um Ihre Gleichung in diese Form zu bringen.

Für diesen Abschnitt dieses Artikels verwenden Sie die Beispielgleichung $F\left(x\right)=x^{}$.

Basierend auf der Arbeitsgleichung $F\left(x\right)=x^{}$, ergibt das das ergebnis $x={\mathrm{ja}}^{}$.

Um für die Beispielgleichung die linke Seite gleich Null zu erhalten, müssen Sie x von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren. Das ergibt das Ergebnis $0={\mathrm{ja}}^{}$.

6. Definieren Sie die Variablen neu, damit sie der Quadratformel entsprechen. Dieser Schritt ist ein bisschen knifflig. Wisse, dass sich die Quadratformel nach x auflöst, in der Gleichung $0=\mathrm{ein}{x}^{}$. Also, für die Gleichung, die du jetzt hast, $0={\mathrm{ja}}^{}$, Um dieser Klassifizierung zu entsprechen, müssen Sie die Begriffe wie folgt neu definieren:

Verlassen ${\mathrm{ja}}^{}$. Also, x=1

Verlassen $2\mathrm{ja}=Bx$. Also b=2

Verlassen $(-3-x)=C$. Also, c=(-3-x)

$F^{}$

$F^{}$

9. Bestimmen Sie den Bereich und den Bereich der Umkehrfunktion. Beachten Sie, dass zum Definieren der Quadratwurzel die Domäne x≥-4 . sein muss. Denken Sie daran, dass der Bereich der ursprünglichen Funktion x≤-1 war und der Bereich y≥-4 . war. Um die entsprechende Umkehrfunktion zu wählen, benötigen Sie die zweite Lösung, $F^{}$ wähle als die richtige Umkehrfunktion.

Angenommen die ursprüngliche Funktion $F\left(x\right)=x^{}$, wähle dein x=-2. Dies gibt y=-3 . zurück. Setzen Sie nun den Wert von x=-3 in die Umkehrfunktion ein, $F^{}$. Dies gibt -2 zurück, was tatsächlich der Wert ist, mit dem Sie begonnen haben. Deine Definition der Umkehrfunktion ist also richtig.

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