Magische Quadrate lösen

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Magische Quadrate haben erst seit dem Aufkommen von mathematischen Spielen wie Sudoku . an Popularität gewonnen. Ein magisches Quadrat ist eine Anordnung von Zahlen in einem Quadrat, bei der die Summe jeder Reihe, Spalte und Diagonale eine konstante Zahl ist, die sogenannte magische Konstante. Dieser Artikel erklärt, wie man jede Art von magischem Quadrat löst, sei es ein ungerades, einfach gerades oder doppelt gerades Quadrat.

Schritte

Methode 1 von 3: Ein ungerades magisches Quadrat lösen

1. Berechnen Sie die magische Konstante. Sie finden diese Zahl mit einer einfachen mathematischen Formel, wobei n = die Anzahl der Zeilen oder Spalten in Ihrem magischen Quadrat. In einem magischen 3x3-Quadrat beispielsweise ist n = 3. Die magische Konstante = [n * (n2 + 1)] / 2. Im Beispiel des 3x3-Quadrats:

Summe = [3 * (32 + 1)] / 2
Summe = [3 * (9 + 1)] / 2
Summe = (3 * 10) / 2
Summe = 30 / 2
Die magische Konstante eines 3x3-Quadrats ist 30/2 oder 15.
Alle Reihen, Spalten und Diagonalen haben diese Zahl als Summe.

2. Setze die Zahl 1 in das mittlere Kästchen der oberen Reihe. Dies ist immer der Punkt, an dem Sie beginnen, wenn Ihr magisches Seitenquadrat eine ungerade Seitenzahl hat, egal wie groß oder klein diese Zahl ist. Wenn Sie also ein 3x3-Quadrat haben, geben Sie die Zahl 1 in Feld 2 ein; Platzieren Sie in einem 15x15-Quadrat die Zahl 1 in Feld 8.

Bild mit dem Titel Solve a Magic Square Schritt 3

3. Füllen Sie die verbleibenden Zahlen in einem Muster von eins nach oben und von rechts aus. Sie füllen die Zahlen immer nach einer Reihe (1, 2, 3, 4 usw.).) indem Sie eine Zeile nach oben und dann eine Spalte nach rechts gehen. Man merkt sofort, dass man beim Platzieren der Zahl 2 über der obersten Reihe landet, außerhalb des magischen Quadrats. Das ist in Ordnung – obwohl Sie immer die Eins-zu-Rechts-Methode wählen, gibt es drei Ausnahmen, die ebenfalls einem vorhersehbaren Muster folgen:

Wenn der Zug dich zu einer "Box" über dem magischen Quadrat führt, bleibe in der Spalte dieser Box, aber platziere die Zahl in der untersten Reihe dieser Spalte.

Wenn der Zug dich zu einem Kästchen rechts vom magischen Quadrat führt, bleibe in dieser Reihe, aber platziere die Zahl in der Spalte dieser Reihe ganz links neben dem Quadrat.

Wenn der Umzug Sie zu einem Feld führt, das bereits eine Zahl enthält, gehen Sie zurück zum vorherigen Feld, das ausgefüllt wurde, und setzen Sie die nächste Zahl direkt darüber.

Methode 2 von 3: Ein einfaches gerades magisches Quadrat lösen

1. Verstehe, was ein einfaches gerades Quadrat ist. Jeder weiß, dass eine gerade Zahl durch 2 teilbar ist, aber bei magischen Quadraten gibt es verschiedene Methoden, um einfache und doppelte gerade Quadrate zu lösen.

Ein einfaches gerades Quadrat hat eine Anzahl von Quadraten pro Seite, die durch 2 teilbar ist, aber nicht durch 4.
Das kleinste einzelne gerade magische Quadrat ist 6x6, da 2x2 magische Quadrate nicht gemacht werden können.

Bild mit dem Titel Solve a Magic Square Schritt 5

2. Berechnen Sie die magische Konstante. Verwenden Sie die gleiche Methode wie bei ungeraden magischen Quadraten: die magische Konstante = [n * (n2 + 1)] / 2, wobei n = die Anzahl der Quadrate pro Seite. Im Beispiel eines 6x6-Quadrats:

Summe = [6 * (62 + 1)] / 2

Summe = [6 * (36 + 1)] / 2

Summe = (6 * 37) / 2

Summe = 222 / 2

Die magische Konstante eines 6x6-Quadrats ist 222/2 oder 111.

Alle Zeilen, Spalten und Diagonalen sollten addiert werden, um diese Zahl zu erhalten.

3. Teile das magische Quadrat in vier gleich große Quadranten . Beschriften Sie sie mit A (oben links), C (oben rechts), D (unten links) und B (unten rechts). Um zu bestimmen, wie groß jedes Quadrat sein sollte, teilen Sie die Anzahl der Kästchen in jeder Zeile oder Spalte in zwei Hälften.

Für jedes 6x6-Quadrat wird jeder Quadrant also ein 3x3-Quadrat.

4. Weisen Sie jedem Quadranten einen Zahlenbereich zu. Quadrant A erhält ein Viertel der Zahlen; Quadrant B das zweite Quartal; Quadrant C das dritte Viertel und Quadrant D das letzte Viertel des gesamten Zahlenbereichs eines 6x6 magischen Quadrats.

Im Beispiel eines 6x6-Quadrats wird Quadrant A mit den Zahlen von 1-9 gelöst; Quadrant B mit denen von 10-18; Quadrant C mit 19-27 und Quadrant D mit 28-36.

5. Lösen Sie jeden Quadranten mit der Methode des magischen Quadrats mit einer ungeraden Anzahl von Kästchen pro Seite. Quadrant A ist einfach auszufüllen, da er mit der Zahl 1 beginnt, wie es bei magischen Quadraten normalerweise der Fall ist. Die Quadranten B-D beginnen jedoch mit ungeraden Zahlen — 10, 19 und 28, wie in unserem Beispiel.

Behandeln Sie die erste Zahl jedes Quadranten, als ob es eine Eins wäre. Platziere es in der mittleren Box in der oberen Reihe jedes Quadranten.

Behandle jeden Quadranten wie ein kleines magisches Quadrat. Auch wenn die Box in einem angrenzenden Quadranten verfügbar ist, ignorieren Sie sie und springen Sie zu der `Ausnahmeregel`, die zu dieser Situation passt.

6. Machen Sie die Markierungen A und D. Wenn Sie gleich versucht haben, Spalten, Zeilen und Diagonalen hinzuzufügen, haben Sie bemerkt, dass sie sich nicht zur magischen Konstante addieren. Sie müssen einige Kästchen der oberen linken und unteren linken Quadranten vertauschen, um Ihr magisches Quadrat zu vervollständigen. Wir nennen diese Bereiche Marker A und Marker D.

Markieren Sie mit einem Bleistift alle Quadrate in der oberen Reihe, bis Sie das mittlere Feld von Quadrant A erreichen. In einem 6x6-Quadrat markieren Sie also Kästchen 1 (mit der Zahl 8), aber in einem 10x10-Quadrat markieren Sie Kästchen 1 und 2 (mit den Zahlen 17 bzw. 24).

Markieren Sie ein Quadrat mit den Kästchen, die Sie gerade als oberste Reihe markiert haben. Wenn Sie nur ein Kästchen markiert haben, besteht Ihr Quadrat aus nicht mehr als einem Kästchen. Wir nennen dies Markierung A-1.

In einem magischen 10x10-Quadrat besteht Marker A-1 also aus den Kästchen 1 und 2 in den Reihen 1 und 2, wodurch ein 2x2-Quadrat im oberen linken Quadranten entsteht.

Überspringen Sie in der Zeile direkt unter Markierung A-1 die Zahl in der ersten Spalte und markieren Sie dann so viele Kästchen von Seite zu Seite, wie Sie in Markierung A-1 angegeben haben. Wir nennen diese mittlere Reihe Markierung A-2.

Auswahl A-3 ist ein Kästchen ähnlich wie A-1, befindet sich jedoch in der unteren linken Ecke des Quadranten.

Auswahl A-1, A-2 und A-3 bilden zusammen Marker A.

Wiederholen Sie diesen Vorgang in Quadrant D und erstellen Sie einen identischen Markerbereich, Marker D.

7. Marker A und D vertauschen. Dies ist ein 1-zu-1-Austausch. Verschieben Sie die Kästchen zwischen Quadrant A und Quadrant D, ohne die Reihenfolge zu ändern. Sobald Sie dies getan haben, sollten alle Reihen, Spalten und Diagonalen in Ihrem magischen Quadrat die zuvor berechnete magische Konstante als Summe haben.

8. Tauschen Sie ein zusätzliches Mal gegen einzeln sogar magische Quadrate, die größer als 6x6 Zoll sind. Zusätzlich zu dem oben erwähnten Wechsel für die Quadranten A und D müssen Sie auch einen Wechsel für die Quadranten C und B vornehmen. Markieren Sie die Spalten von der rechten Seite des Quadrats nach links, eine weniger als die Anzahl der Spalten, die für Hervorhebung A-1 markiert sind. Tauschen Sie die Werte in Quadrant C mit den Werten in Quadrant B für diese Spalten mit derselben Eins-zu-Eins-Methode aus.

Hier sind zwei Bilder eines 14x14 Magic Square vor und nach beiden Schaltern. Die Schaltfläche von Quadrant A ist blau markiert, die Fläche von Quadrant D ist grün, für Quadrant C gelb und für Quadrant B orange.

Magic Square von 14x14 vor dem Schalter (Schritte 6, 7 und 8)

Magisches Quadrat von 14x14 nach Durchführung der Ersetzungen (Schritte 6, 7 und 8)

Methode 3 von 3: Ein doppelt gerades magisches Quadrat lösen

1. Verstehe, was ein doppelt gerades Quadrat ist. Ein einfaches gerades Quadrat hat eine Anzahl von Quadraten pro Seite, die durch 2 . teilbar ist. Ein doppelt gerades Quadrat hat eine Anzahl von Quadraten pro Seite, die durch 4 . teilbar sind.

Das kleinste doppelt gerade Quadrat, das hergestellt werden kann, ist das 4x4-Quadrat.

2. Berechnen Sie die magische Konstante. Verwenden Sie die gleiche Methode wie für die ungeraden oder singulären geraden magischen Quadrate: die magische Konstante = [n * (n2 + 1)] / 2, wobei n = die Anzahl der Quadrate pro Seite. Im Beispiel eines 4x4-Quadrats:

Summe = [4 * (42 + 1)] / 2

Summe = [4 * (16 + 1)] / 2

Summe = (4 * 17) / 2

Summe = 68 / 2

Die magische Konstante eines 4x4-Quadrats ist 68/2 oder 34.

Alle Reihen, Spalten und Diagonalen müssen diese Zahl bilden.

3. Marker A-D . auftragen. Platziere in jeder Ecke des magischen Quadrats ein kleines Quadrat mit Seiten von n/4, wobei n = die Länge einer Seite des gesamten magischen Quadrats. Beschrifte sie gegen den Uhrzeigersinn als Marker A, B, C und D.

Markieren Sie in einem 4x4-Quadrat einfach die vier Eckquadrate.

In einem 8x8-Quadrat ist jeder Marker ein 2x2-Bereich in den Ecken.

In einem 12x12-Quadrat ist jeder Marker ein 3x3-Bereich in den Ecken usw.

4. Platzieren Sie die zentrale Markierung. Markieren Sie alle Kästchen in der Mitte des magischen Quadrats in einem quadratischen Bereich der Länge n/2, wobei n = die Länge jeder Seite eines vollständigen magischen Quadrats. Der zentrale Marker darf die Marker A-D nicht überlappen, sondern sollte diese in den Ecken berühren.

In einem 4x4-Quadrat ist der Central Marker ein 2x2-Bereich in der Mitte.

In einem 8x8-Quadrat ist der zentrale Marker ein 4x4-Bereich in der Mitte usw.

5. Füllen Sie das magische Quadrat aus, aber nur in den markierten Bereichen. Beginnen Sie, Ihre magischen Quadratzahlen von links nach rechts auszufüllen, aber platzieren Sie eine Zahl nur, wenn das Kästchen in einen Marker fällt. Füllen Sie also in einem 4x4-Feld die folgenden Felder aus:

1 im oberen linken Feld und 4 im oberen rechten Feld

6 und 7 in den mittleren Kästchen in Reihe 2

10 und 11 in den mittleren Kästchen in Reihe 3

13 im unteren linken Feld und 16 im unteren rechten Feld.

6. Fülle den Rest des magischen Quadrats aus, indem du rückwärts zählst. Dies ist im Wesentlichen die Umkehrung des vorherigen Schritts. Beginnen Sie wieder mit dem linken oberen Feld, überspringen Sie diesmal jedoch alle Felder, die in den markierten Bereich fallen, und füllen Sie die nicht ausgewählten Felder aus, indem Sie rückwärts zählen. Beginnen Sie mit der größten Nummer in Ihrem Nummernkreis. Geben Sie also in ein magisches 4x4-Quadrat ein:

15 und 14 in den mittleren Kästchen in Reihe 1

12 in der Box ganz links und 9 in der Box ganz rechts in Reihe 2

8 in der Box ganz links und 5 in der Box ganz rechts in Reihe 3

3 und 2 in den mittleren Kästchen in Reihe 4

An dieser Stelle sollten alle Spalten, Reihen und Diagonalen eine Summe gleich der zuvor berechneten magischen Konstante haben.