Mathematische Beweise formulieren

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Mathematische Beweise können schwierig sein, aber mit dem richtigen Hintergrundwissen sowohl der Mathematik als auch des Aufbaus eines Beweises können Sie diese sicherlich erfolgreich formulieren. Leider gibt es keinen schnellen und einfachen Weg, um zu lernen, wie man Beweise erstellt. Sie brauchen ein solides Fundament in Ihrem Fachwissen, um die richtigen Theoreme und Definitionen für die logische Entwicklung Ihres Beweises zu finden. Indem Sie Beispiele lesen und selbst üben, werden Sie in der Lage sein, mathematische Beweise zu beherrschen.

Schritte

Methode 1 von 3: Das Problem verstehen

1. Verstehe die Frage. Sie müssen zuerst genau bestimmen, was Sie beweisen möchten. Diese Frage dient auch als letzter Satz des Beweises. In diesem Schritt definieren Sie auch die Annahmen, mit denen Sie arbeiten werden. Die Identifizierung der Frage und das Treffen der notwendigen Annahmen gibt Ihnen einen Ausgangspunkt, um das Problem zu verstehen und die Beweise zu erarbeiten.

2. Diagramme zeichnen. Wenn Sie versuchen, das Innenleben einer mathematischen Aufgabe zu verstehen, ist es manchmal am einfachsten, ein Diagramm der Vorgänge zu zeichnen. Diagramme sind bei geometrischen Beweisen besonders wichtig, da Sie damit visualisieren können, was Sie tatsächlich beweisen möchten.

Verwenden Sie die in der Aufgabe gegebenen Informationen, um eine Beweiszeichnung anzufertigen. Nennen Sie die Bekannten und Fremden.

Verwenden Sie bei der Erstellung der Beweise die erforderlichen Informationen, um die Beweise zu untermauern.

3. Studieren Sie Beweise verwandter Theoreme. Das Verfassen von Beweisen ist schwer zu erlernen, aber eine ausgezeichnete Möglichkeit, dies zu lernen, besteht darin, verwandte Theoreme und wie sie bewiesen wurden, zu studieren.

Ist Ihnen klar, dass ein Beweis nur ein gutes Argument ist, bei dem jeder Schritt begründet ist?. Sie können viele Beweise für das Studium sowohl online als auch in einem Lehrbuch finden.

4. Fragen stellen. Es ist ganz normal, in Beweisen stecken zu bleiben. Fragen Sie Ihren Lehrer oder Ihre Mitschüler, wenn Sie es nicht herausfinden können. Letztere haben vielleicht ähnliche Fragen und Sie können gemeinsam an den Themen arbeiten. Besser Fragen stellen und dann verstehen, als blind durch die Beweise zu waten.

Wenden Sie sich nach dem Unterricht an Ihren Lehrer, um zusätzliche Erklärungen zu erhalten.

Methode 2 von 3: Einen Beweis strukturieren

1. Definiere mathematische Beweise. Ein mathematischer Beweis ist eine Reihe logischer Aussagen, die durch Theoreme und Definitionen unterstützt werden, die die Richtigkeit einer anderen mathematischen Aussage beweisen. Beweise sind der einzige Weg, um zu wissen, ob eine Aussage mathematisch gültig ist.

Die Fähigkeit, einen mathematischen Beweis zu formulieren, weist auf ein grundlegendes Verständnis des Problems selbst und aller am Problem beteiligten Konzepte hin.
Beweise zwingen dich auch dazu, Mathematik auf eine neue und aufregende Weise zu betrachten. Allein durch den Versuch, etwas zu beweisen, gewinnen Sie mehr Wissen und Verständnis, auch wenn Ihre Beweise letztendlich nicht richtig erscheinen.

2. Kenne deine Zuhörer. Bevor Sie einen Beweis schreiben, müssen Sie über das Publikum nachdenken, für das Sie es schreiben und was es bereits weiß. Wenn du einen Nachweis für eine Veröffentlichung schreibst, machst du es anders als für eine Gymnasialklasse.

Wenn Sie Ihr Publikum kennen, können Sie die Beweise so artikulieren, dass es angesichts des Hintergrundwissens des Publikums verständlich ist.

3. Verstehen Sie die Art von Beweisen, die Sie formulieren. Es gibt verschiedene Arten von Beweisen, und die Auswahl hängt von Ihrer Zielgruppe und der Aufgabe ab. Wenn Sie sich nicht sicher sind, welche Version Sie verwenden sollen, fragen Sie Ihren Lehrer um Rat. In der High School kann von Ihnen erwartet werden, dass Sie den Beweis in einem bestimmten Format formulieren, z. B. einen zweispaltigen formalen Beweis.

Ein zweispaltiger Beweis ist eine Struktur, bei der Daten und Behauptungen in einer Spalte und die unterstützenden Beweise daneben in einer zweiten Spalte platziert werden. Sie werden sehr häufig in der Geometrie verwendet.

Ein informeller Beweis in Absätzen verwendet grammatikalisch korrekte Aussagen und weniger Symbole. Auf einer höheren Ebene sollten Sie immer formlose Nachweise verwenden.

4. Schreibe den Beweis in zwei Spalten als Übersicht. Die Strukturierung eines Beweises in zwei Spalten ist eine einfache Möglichkeit, Ihre Gedanken zu ordnen und das Problem zu betrachten. Zeichnen Sie eine Linie in der Mitte der Seite und schreiben Sie alle Daten und Aussagen auf die linke Seite. Schreiben Sie die entsprechenden Definitionen/Aussagen rechts neben die Daten, die sie unterstützen.

Zum Beispiel:

Winkel A und Winkel B bilden ein lineares Paar. Datum.

Winkel ABC ist gerade. Rechtwinklige Definition.

Winkel ABC ist 180°. Definition einer Linie.

Winkel A + Winkel B = Winkel ABC. Postulat für das Hinzufügen von Winkeln.

Winkel A + Winkel B = 180°. Auswechslung.

Winkel A als Ergänzung zu Winkel B. Definition zusätzlicher Winkel.

Q.E.D.

5. Wandeln Sie den Beweis in zwei Spalten in einen informellen Beweis um. Schreiben Sie ausgehend vom zweispaltigen Beweis einen informellen Beweis als Absatz ohne zu viele Symbole und Abkürzungen.

Beispiel: Angenommen, Winkel A und B sind lineare Paare. Die Hypothese ist, dass sich Winkel A und Winkel B ergänzen (sind ergänzend). Winkel A und Winkel B bilden eine Gerade, da sie lineare Paare sind. Eine gerade Linie hat einen Winkel von 180°. Gegeben das Postulat der Winkeladdition bilden die Winkel A und B zusammen die Gerade ABC. Durch Substitution sind A und B zusammen 180°, also ergänzende Winkel. Q.E.D.

Methode 3 von 3: Formulieren der Beweise

1. Lerne das Vokabular des mathematischen Beweises. Es gibt bestimmte Aussagen und Sätze, die man in einem mathematischen Beweis immer wieder sieht. Diese Sätze sollten Sie kennen und verwenden können, wenn Sie Ihre eigenen Beweise formulieren.

`Wenn A, dann B` bedeutet, dass Sie zeigen müssen, dass B auch wahr sein muss, wenn A wahr ist.
`A wenn und nur wenn B` bedeutet, dass Sie beweisen müssen, dass A und B gleichzeitig wahr und falsch sind. Beweisen Sie sowohl `Wenn A, dann B` und `Wenn nicht A, dann nicht B`.
`A nur wenn B` bedeutet dasselbe wie `Wenn A, dann B`, daher wird es nicht oft verwendet. Es ist gut, sich dessen bewusst zu sein, wenn Sie darauf stoßen.
Vermeiden Sie bei der Vorbereitung der Beweise die Verwendung von „ich“ zugunsten von „wir“.

2. Alle Daten aufzeichnen. Beim Erstellen eines Proofs ist der erste Schritt, alle Daten zu identifizieren und aufzuzeichnen. Dies ist der beste Ausgangspunkt, da Sie so überlegen können, was bekannt ist und welche Informationen Sie zum Vervollständigen des Beweises benötigen. Lesen Sie das Problem und schreiben Sie jedes Detail auf.

Beispiel: Beweisen Sie, dass zwei Winkel, die ein lineares Paar bilden (Winkel A und Winkel B) ergänzend sind.

Gegeben: Winkel A und Winkel B bilden ein lineares Paar

Beweis: Winkel A ergänzt Winkel B.

3. Definiere alle Variablen. Neben dem Schreiben der Daten ist es sinnvoll, alle Variablen zu definieren. Schreiben Sie die Definitionen an den Anfang des Beweises, um Verwirrung für den Leser zu vermeiden. Wenn Variablen nicht definiert sind, kann sich ein Leser leicht verirren, während er versucht, Ihre Beweise zu ergründen.

Verwenden Sie in Ihrem Beweis keine Variablen, die noch nicht definiert sind.

Zum Beispiel: Variablen sind die Messungen von Winkel A und Winkel B.

4. Arbeiten Sie die Beweise rückwärts durch. Es ist oft am einfachsten, über ein Problem nachzudenken. Beginnen Sie mit der Schlussfolgerung, was Sie beweisen möchten, und denken Sie über die Schritte nach, die Sie zurück zum Anfang führen können.

Bearbeiten Sie die Schritte am Anfang und am Ende, um zu sehen, ob sie ähnlich sind. Verwenden Sie die Daten, Definitionen, die Sie gelernt haben, und ähnliche Beweise.

Stellen Sie sich unterwegs Fragen. `Warum ist das so?“ und „Ist das irgendwie falsch??` sind gute Fragen für jeden Anspruch oder Anspruch.

Vergiss nicht, die Schritte in der richtigen Reihenfolge für den endgültigen Beweis zu schreiben.

Beispiel: Wenn die Winkel A und B ergänzend sind, müssen sie zusammen 180° betragen. Die beiden Winkel zusammen bilden die Gerade ABC. Sie wissen, dass sie aufgrund der Definition von linearen Paaren eine Linie bilden. Da eine Gerade 180° beträgt, können Sie durch Substitution beweisen, dass sich Winkel A und Winkel B zu 180° addieren.

5. Bringe deine Schritte in eine logische Reihenfolge. Beginnen Sie den Beweis am Anfang und arbeiten Sie sich zum Abschluss vor. Es ist zwar hilfreich, über die Beweise nachzudenken, aber indem Sie mit der Schlussfolgerung beginnen und rückwärts arbeiten, wird die Präsentation der tatsächlichen Beweise die Schlussfolgerung am Ende setzen. Die Behauptungen in den Beweismitteln müssen aufeinander folgen und für jede Behauptung untermauert sein, damit kein Grund besteht, an der Gültigkeit Ihrer Beweise zu zweifeln.

Beginnen Sie damit, die Annahmen anzugeben, mit denen Sie arbeiten.

Unterteilen Sie sie in einfache und unkomplizierte Schritte, damit sich der Leser nicht fragen muss, wie ein Schritt logisch auf den anderen folgt.

Es ist nicht ungewöhnlich, mehrere Beweise zu formulieren. Ordnen Sie so lange neu an, bis alle Schritte in der logischsten Reihenfolge sind.

Beispiel: am Anfang beginnen.

Winkel A und Winkel B bilden ein lineares Paar.

Winkel ABC ist gerade.

Winkel ABC ist 180°.

Winkel A + Winkel B = Winkel ABC.

Winkel A + Winkel B = 180°.

Winkel A ergänzt Winkel B.

6. Vermeiden Sie die Verwendung von Pfeilen und Abkürzungen in den schriftlichen Beweisen. Wenn Sie den Plan für Ihren Beweis skizzieren, können Sie Abkürzungen und Symbole verwenden, aber beim Schreiben des endgültigen Beweises können Symbole wie Pfeile den Leser verwirren. Verwenden Sie stattdessen Wörter wie "dann" oder "so".

Ausnahmen von der Verwendung von Abkürzungen sind: z.B. (zum Beispiel) und d.w.z. (das heißt), aber stellen Sie sicher, dass Sie sie richtig verwenden.

7. Unterstützen Sie alle Aussagen mit einem Theorem, Gesetz oder Definition. Ein Beweis ist nur so gut wie der verwendete Beweis. Sie können keine Behauptung aufstellen, ohne sie mit einer Definition zu untermauern. Verweise auf andere, ähnliche Beweise als Beispiel.

Versuchen Sie, Ihre Beweise auf einen Fall anzuwenden, in dem es falsch sein sollte, und prüfen Sie, ob dies tatsächlich der Fall ist. Wenn das Ergebnis nicht falsch ist, ändern Sie den Beweis so, dass er ist.

Viele geometrische Beweise werden als zweispaltiger Beweis geschrieben, mit der Aussage und dem Beweis. Ein formaler mathematischer Beweis, der zur Veröffentlichung bestimmt ist, wird als absatzkorrekte Grammatik verfasst.

8. Beende es mit einer Schlussfolgerung oder Q.E.D. Die letzte Aussage des Beweises muss die Hypothese sein, die Sie beweisen wollten. Nachdem Sie diese Aussage gemacht haben, schließen Sie den Beweis mit einem letzten Symbol, wie Q.E.D. oder ein geschlossenes Quadrat, um anzuzeigen, dass der Beweis vollständig ist.

Q.E.D. steht für `quod erat demonstrandum` (lateinisch für `was zu beweisen war`).

Wenn Sie sich nicht sicher sind, ob Ihr Beweis richtig ist, schreiben Sie einfach in wenigen Sätzen, was Ihre Schlussfolgerung ist und warum sie bedeutsam ist.