Berechnen sie die fakultät

Factorial wird häufig verwendet, um Wahrscheinlichkeiten und Permutationen oder die mögliche Abfolge von Ereignissen zu berechnen. Die Fakultät wird durch ein Ausrufezeichen (!{displaystyle !}{displaystyle !}), was bedeutet, dass Sie alle Zahlen in absteigender Reihenfolge von der Fakultätszahl aus multiplizieren. Sobald Sie verstanden haben, was eine Fakultät ist, ist sie leicht zu berechnen, insbesondere mit Hilfe eines wissenschaftlichen Taschenrechners.

Schritte

Methode 1 von 3: Berechnung der Fakultät einer Zahl

Bildtitel Do Factorials Step 1
1. Bestimmen Sie die Zahl, für die Sie die Fakultät berechnen. Eine Fakultät wird durch eine positive ganze Zahl und ein Ausrufezeichen angezeigt.
  • Angenommen, Sie möchten die Fakultät von fünf berechnen, schreiben Sie das als 5!{displaystyle 5!}{displaystyle 5!}.
Bildtitel Do Factorials Step 2
2. Schreiben Sie die Zahlenfolge auf, die Sie multiplizieren möchten. Eine Fakultät multipliziert einfach die natürlichen Zahlen in absteigender Reihenfolge von der Zahl der Fakultät bis zu 1. Als Formel: n!=n(n-1)⋅⋅⋅2⋅1{displaystyle n!=n(n-1)cdot cdot cdot 2cdot 1}{displaystyle n!=n(n-1)cdot cdot cdot 2cdot 1}, wodurch n{displaystyle n}n gleich einer positiven ganzen Zahl.
  • Zum Beispiel, wenn Sie 5!{displaystyle 5!}{displaystyle 5!} Wenn Sie rechnen möchten, müssen Sie zuerst 5(5-1)(5-2)(5-3)(5-4){displaystyle 5(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)}{displaystyle 5(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)} oder einfacher: 5⋅4⋅3⋅2⋅1{displaystyle 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}{displaystyle 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}.
    • Bildtitel Do Factorials Step 3
    3. Multipliziere die Zahlen miteinander. Sie können die Fakultät schnell mit einem wissenschaftlichen Taschenrechner berechnen, denn sie hat a x!{displaystyle x!}{displaystyle x!} Knopf. Wenn Sie dies von Hand berechnen möchten, können Sie dies vereinfachen, indem Sie zuerst nach den Faktorpaaren suchen, die zusammen multipliziert 10 . ergeben. Natürlich kannst du die 1 ignorieren, da eine Zahl mal 1 gleich der Zahl selbst ist.
  • Zum Beispiel: wenn du 5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1{displaystyle 5!=5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}{displaystyle 5!=5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1} berechnet, dann ignoriere die 1 und berechne 5⋅2=10{displaystyle 5cdot 2=10}{displaystyle 5cdot 2=10}. Jetzt fehlt nur noch 4⋅3=12{displaystyle 4cdot 3=12}{displaystyle 4cdot 3=12}. Denn 10⋅12=120{displaystyle 10cdot 12=120}{displaystyle 10cdot 12=120}, wissen Sie 5!=120{displaystyle 5!=120}{displaystyle 5!=120}.

    • Methode 2 von 3: Vereinfachung einer Fakultät

    Bildtitel Do Factorials Step 4
    1. Bestimmen Sie, welcher Ausdruck vereinfacht werden soll. Das ist oft ein Bruch.
    • Nehmen wir zum Beispiel an, Sie 7!5!⋅4!{displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}}{displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}} sollte vereinfachen.
    Bildtitel Do Factorials Step 5
    2. Schreiben Sie die Faktoren jeder Fakultät auf. Da die Fakultät n!{displaystyle n!}{displaystyle n!} ist ein Faktor einer größeren Fakultät, um dies zu vereinfachen, müssen Sie sich die Faktoren ansehen, die Sie durchstreichen können. Das geht ganz einfach, wenn du jeden Begriff ausschreibst.
  • Zum Beispiel: wenn du 7!5!⋅4!{displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}}{displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}} Wenn Sie es vereinfachen möchten, schreiben Sie dies um als 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7(1⋅2⋅3⋅4⋅5)⋅(1⋅2⋅3⋅4){displaystyle {frac {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5)cdot (1cdot 2 cdot 3cdot 4)}}}{displaystyle {frac {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5)cdot (1cdot 2 cdot 3cdot 4)}}}
    • Bildtitel Do Factorials Step 6
    3. Eliminiere alle Terme, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen. Dies vereinfacht die Zahlen, die zum Multiplizieren übrig bleiben.
  • Zum Beispiel: weil 5!{displaystyle 5!}{displaystyle 5!} ist ein Faktor von 7!{displaystyle 7!}{displaystyle 7!}, können Sie 5!{displaystyle 5!}{displaystyle 5!} Aus Zähler und Nenner eliminieren:
    1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7(1⋅2⋅3⋅4⋅5)⋅(1⋅2⋅3⋅4)=6⋅7(1⋅2⋅3⋅4){displaystyle {frac {{cancel {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5}}cdot 6cdot 7}{({cancel {1cdot 2cdot 3cdot 4 cdot 5}})cdot (1cdot 2cdot 3cdot 4)}}={frac {6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4)}}}{displaystyle {frac {{cancel {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5}}cdot 6cdot 7}{({cancel {1cdot 2cdot 3cdot 4 cdot 5}})cdot (1cdot 2cdot 3cdot 4)}}={frac {6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4)}}}
    • Bildtitel Do Factorials Step 7
    4. Vervollständigen Sie die Berechnungen. Vereinfachen Sie, wo möglich. Dadurch erhalten Sie den endgültigen, vereinfachten Ausdruck.
  • Zum Beispiel:
    6⋅7(1⋅2⋅3⋅4){displaystyle {frac {6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4)}}}{displaystyle {frac {6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4)}}}
    =4224{displaystyle ={frac {42}{24}}}{displaystyle ={frac {42}{24}}}
    =74{displaystyle ={frac {7}{4}}}{displaystyle ={frac {7}{4}}}
    So, 7!5!⋅4!{displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}}{displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}} ist vereinfacht 74{displaystyle {frac {7}{4}}}{displaystyle {frac {7}{4}}}.

    • Methode 3 von 3: Einfache Übungen machen

    Bildtitel Do Factorials Step 8
    1. Betrachten Sie den Ausdruck 8!.
    • Wenn Sie einen wissenschaftlichen Taschenrechner haben, drücken Sie die Taste 8{displaystyle 8}{displaystyle 8}, gefolgt vom Schlüssel x!{displaystyle x!}{displaystyle x!}.
    • Bei handschriftlicher Berechnung notieren Sie die zu multiplizierenden Faktoren:
      8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1{displaystyle 8cdot 7cdot 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}{displaystyle 8cdot 7cdot 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}
    • Ignoriere die 1:
      8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1{displaystyle 8cdot 7cdot 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2{cancel {cdot 1}}}{displaystyle 8cdot 7cdot 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2{cancel {cdot 1}}}
    • Berechnung 5⋅2{displaystyle 5cdot 2}{displaystyle 5cdot 2}:
      (5⋅2)8⋅7⋅6⋅4⋅3{displaystyle (5cdot 2)8cdot 7cdot 6cdot 4cdot 3}{displaystyle (5cdot 2)8cdot 7cdot 6cdot 4cdot 3}
      =(10)8⋅7⋅6⋅4⋅3{displaystyle =(10)8cdot 7cdot 6cdot 4cdot 3}{displaystyle =(10)8cdot 7cdot 6cdot 4cdot 3}
    • Gruppieren Sie zuerst alle anderen Zahlen, die sich leicht multiplizieren lassen, und multiplizieren Sie dann alle Produkte miteinander:
      (10)(4⋅3)(7⋅6)(8){displaystyle (10)(4cdot 3)(7cdot 6)(8)}{displaystyle (10)(4cdot 3)(7cdot 6)(8)}
      =(10)(12)(42)(8){displaystyle =(10)(12)(42)(8)}{displaystyle =(10)(12)(42)(8)}
      =(120)(336){displaystyle =(120)(336)}{displaystyle =(120)(336)}
      =40320{displaystyle =40320}{displaystyle =40320}
      Also, 8!=40,320{displaystyle 8!=40,320}{displaystyle 8!=40,320}.
    Bildtitel Do Factorials Step 9
    2. Den Ausdruck vereinfachen:12!6!3!{displaystyle {frac {12!}{6!3!}}}{displaystyle {frac {12!}{6!3!}}}.
  • Schreiben Sie die Faktoren jeder Fakultät auf:
    1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10⋅11⋅12(1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6)(1⋅2⋅3){displaystyle {frac {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot 7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{(1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6)(1cdot 2cdot 3)}}}{displaystyle {frac {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot 7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{(1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6)(1cdot 2cdot 3)}}}
  • Eliminieren Sie die Begriffe, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen:
    1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10⋅11⋅12(1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6)(1⋅2⋅3)=7⋅8⋅9⋅10⋅11⋅121⋅2⋅3{displaystyle {frac {{cancel {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot }}7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{( {cancel {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6}})(1cdot 2cdot 3)}}={frac {7cdot 8cdot 9cdot 10 cdot 11cdot 12}{1cdot 2cdot 3}}}{displaystyle {frac {{cancel {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot }}7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{( {cancel {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6}})(1cdot 2cdot 3)}}={frac {7cdot 8cdot 9cdot 10 cdot 11cdot 12}{1cdot 2cdot 3}}}
  • Vervollständigen Sie die Berechnungen:
    7⋅8⋅9⋅10⋅11⋅121⋅2⋅3{displaystyle {frac {7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{1cdot 2cdot 3}}}{displaystyle {frac {7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{1cdot 2cdot 3}}}
    =665,2806{displaystyle ={frac {665,280}{6}}}{displaystyle ={frac {665,280}{6}}}
    =110,880{displaystyle =110,880}{displaystyle =110,880}
    Also der Ausdruck 12!6!3!{displaystyle {frac {12!}{6!3!}}}{displaystyle {frac {12!}{6!3!}}} ist vereinfacht zu 110,880{displaystyle 110.880}{displaystyle 110.880}.
    • Bildtitel Do Factorials Step 10
    3. Versuchen Sie die folgende Aufgabe. Du hast sechs Bilder, die du gerne nebeneinander an die Wand hängen möchtest. Auf wie viele Arten kann man die Bilder aufhängen?
  • Da Sie nach den verschiedenen Möglichkeiten suchen, eine Sequenz zu ordnen, können Sie dies lösen, indem Sie die Fakultät der Anzahl der Objekte in der Sequenz ermitteln.
  • Die Anzahl der Möglichkeiten, die sechs Bilder hintereinander aufzuhängen, kann gelöst werden durch 6!{displaystyle 6!}{displaystyle 6!} berechnen.
  • Drücken Sie auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner die Taste 6{displaystyle 6}6, gefolgt vom Schlüssel x!{displaystyle x!}{displaystyle x!}.
  • Wenn Sie dies von Hand lösen, schreiben Sie die zu multiplizierenden Faktoren auf:
    6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1{displaystyle 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}{displaystyle 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}
  • Ignoriere die 1:
    6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1{displaystyle 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2{cancel {cdot 1}}}{displaystyle 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2{cancel {cdot 1}}}
  • Berechnung 5⋅2{displaystyle 5cdot 2}{displaystyle 5cdot 2}:
    (5⋅2)6⋅4⋅3{displaystyle (5cdot 2)6cdot 4cdot 3}{displaystyle (5cdot 2)6cdot 4cdot 3}
    =(10)6⋅4⋅3{displaystyle =(10)6cdot 4cdot 3}{displaystyle =(10)6cdot 4cdot 3}
  • Gruppieren Sie zuerst die anderen einfach zu multiplizierenden Zahlen und multiplizieren Sie dann alle Produkte miteinander:
    (10)(4⋅3)(6){displaystyle (10)(4cdot 3)(6)}{displaystyle (10)(4cdot 3)(6)}
    =(10)(12)(6){displaystyle =(10)(12)(6)}{displaystyle =(10)(12)(6)}
    =(120)(6){displaystyle =(120)(6)}{displaystyle =(120)(6)}
    =720{displaystyle =720}{displaystyle =720}
    Wenn Sie also sechs Gemälde in einer Reihe nebeneinander aufhängen, können Sie dies auf 720 verschiedene Arten tun.
    • Bildtitel Do Factorials Step 11
    4. Versuchen Sie die folgende Aufgabe. Du hast sechs Bilder. Du willst drei davon aufhängen. Auf wie viele verschiedene Arten können Sie drei der Bilder anordnen??
  • Da Sie sechs verschiedene Gemälde haben, aber nur drei auswählen, müssen Sie nur die ersten drei Zahlen in der Folge multiplizieren, um die Fakultät von sechs zu berechnen. Sie können auch die Formel verwenden n!(n-R)!{displaystyle {frac {n!}{(n-r)!}}}{displaystyle {frac {n!}{(n-r)!}}} verwenden, wo n{displaystyle n}n gleich der Anzahl der Objekte, aus denen Sie auswählen, und R{displaystyle r}R entspricht der Anzahl der verwendeten Objekte. Diese Formel funktioniert nur, wenn es keine Iterationen gibt (ein Objekt kann nicht mehr als einmal ausgewählt werden) und die Reihenfolge keine Rolle spielt (weil Sie die Anzahl der verschiedenen Reihenfolgen steuern möchten).
  • Die Anzahl der Möglichkeiten, drei von sechs Gemälden hintereinander anzuordnen und aufzuhängen, finden Sie unter 6!(6-3)!{displaystyle {frac {6!}{(6-3)!}}}{displaystyle {frac {6!}{(6-3)!}}} lösen.
  • Subtrahiere die Zahlen im Nenner:
    6!(6-3)!{displaystyle {frac {6!}{(6-3)!}}}{displaystyle {frac {6!}{(6-3)!}}}
    =6!3!{displaystyle ={frac {6!}{3!}}}{displaystyle ={frac {6!}{3!}}}
  • Schreiben Sie die Faktoren jeder Fakultät auf:
    6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅13⋅2⋅1{displaystyle {frac {6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}{3cdot 2cdot 1}}}{displaystyle {frac {6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}{3cdot 2cdot 1}}}
  • Eliminieren Sie die Begriffe, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen:
    6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅13⋅2⋅1{displaystyle {frac {6cdot 5cdot 4cdot {cancel {3cdot 2cdot 1}}}{cancel {3cdot 2cdot 1}}}}{displaystyle {frac {6cdot 5cdot 4cdot {cancel {3cdot 2cdot 1}}}{cancel {3cdot 2cdot 1}}}}
  • Vervollständigen Sie die Berechnungen: 6⋅5⋅4=120{displaystyle 6cdot 5cdot 4=120}{displaystyle 6cdot 5cdot 4=120}
    So lassen sich drei von insgesamt sechs Gemälden auf 120 verschiedene Arten hintereinander aufhängen.

    • Tipps

    • 1! =1, gemäß Definition
    • Obwohl es etwas unlogisch erscheint, können Sie davon ausgehen, dass 0! = 1, sofern nicht anders angegeben
    • Fakultät wird zum Lösen kombinatorischer Probleme verwendet, also übe diese Fähigkeit
    • Vergiss nicht, deine Arbeit zu überprüfen

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