Erkenne, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist: 8 Schritte (mit Bildern)

Schritte
- Methode 1 von 2: Testen der Funktion algebraisch
- Methode 2 von 2: Funktion grafisch testen
Tipps
Warnung

Eine Möglichkeit, Funktionen zu klassifizieren, ist entweder `gerade`, `ungerade` oder keines. Diese Begriffe beziehen sich auf die Wiederholung oder Symmetrie der Funktion. Der beste Weg, dies herauszufinden, besteht darin, die Funktion algebraisch zu manipulieren. Sie können auch den Graphen der Funktion studieren und nach Symmetrie suchen. Sobald Sie wissen, wie Sie Merkmale klassifizieren, können Sie auch das Aussehen bestimmter Kombinationen von Merkmalen vorhersagen.

Schritte

Methode 1 von 2: Testen der Funktion algebraisch

Bildtitel Sagen, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist Schritt 1

1. Inverse Variablen anzeigen. In der Algebra ist der Kehrwert einer Variablen negativ. Dies ist wahr oder die Variable der Funktion jetzt

x

$x$ ist oder etwas anderes. Wenn die Variable der ursprünglichen Funktion bereits negativ ist (oder eine Subtraktion), dann ist ihr Kehrwert positiv (oder eine Addition). Es folgen einige Beispiele für Variablen und ihre Umkehrungen:

Die Umkehrung von $x$ $x$ ist $- x$ $-X$
Die Umkehrung von $Q$ $Q$ ist $- Q$ $-Q$
Die Umkehrung von $- w$ $-w$ ist $w$ $w$ .

Bild mit dem Titel Sagen, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist Schritt 2

2. Ersetze jede Variable der Funktion durch ihre Umkehrung. Ändere nicht die ursprüngliche Funktion außer dem Charakter. Zum Beispiel:

F (x) = 4 x 2 - 7

$f(x)=4x^{2}-7$ wird

F (- x) = 4 (- x) 2 - 7

$f(-x)=4(-x)^{2}-7$

g (x) = 5 x 5 - 2 x

$g(x)=5x^{5}-2x$ wird

g (- x) = 5 (- x) 5 - 2 (- x)

$g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$

h (x) = 7 x 2 + 5 x + 3

$h(x)=7x^{2}+5x+3$ wird

h (- x) = 7 (- x) 2 + 5 (- x) + 3

$h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$ .

Bild mit dem Titel Sagen, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist Schritt 3

3. Vereinfachen Sie die neue Funktion. An dieser Stelle müssen Sie sich nicht darum kümmern, die Funktion für einen bestimmten numerischen Wert zu lösen. Sie vereinfachen einfach die Variablen, um die neue Funktion f(-x) mit der ursprünglichen Funktion f(x) zu vergleichen. Erinnern Sie sich an die Grundregeln von Exponenten, die besagen, dass eine negative Basis mit gerader Potenz positiv ist, während eine negative Basis mit ungerader Potenz negativ ist.

F (- x) = 4 (- x) 2 - 7

$f(-x)=4(-x)^{2}-7$

F (- x) = 4 x 2 - 7

$f(-x)=4x^{2}-7$

g (- x) = 5 (- x) 5 - 2 (- x)

$g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$

g (- x) = 5 (- x 5) + 2 x

$g(-x)=5(-x^{5})+2x$

g (- x) = - 5 x 5 + 2 x

$g(-x)=-5x^{5}+2x$

h (- x) = 7 (- x) 2 + 5 (- x) + 3

$h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$

h (- x) = 7 x 2 - 5 x + 3

$h(-x)=7x^{2}-5x+3$

Bild mit dem Titel Sagen, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist Schritt 4

4. Vergleichen Sie die beiden Funktionen. Vergleichen Sie für jedes Beispiel, das Sie versuchen, die vereinfachte Version von f(-x) mit dem ursprünglichen f(x). Stellen Sie die Begriffe zum einfachen Vergleich nebeneinander und vergleichen Sie die Vorzeichen aller Begriffe.

Wenn die beiden Ergebnisse gleich sind, dann ist f(x)=f(-x), und die ursprüngliche Funktion ist gerade. Ein Beispiel ist:

F (x) = 4 x 2 - 7

$f(x)=4x^{2}-7$ und

F (- x) = 4 x 2 - 7

$f(-x)=4x^{2}-7$ .

Diese beiden sind gleich und somit ist die Funktion gerade.

Wenn jeder Term der neuen Version der Funktion der Kehrwert des entsprechenden Termes des Originals ist, dann ist f(x)=-f(-x) und die Funktion ist ungerade. Zum Beispiel:

g (x) = 5 x 5 - 2 x

$g(x)=5x^{5}-2x$ aber

g (- x) = - 5 x 5 + 2 x

$g(-x)=-5x^{5}+2x$ .

Beachten Sie, dass Sie die zweite Funktion erhalten, wenn Sie jeden Term der ersten Funktion mit -1 multiplizieren. Die ursprüngliche Funktion g(x) ist also ungerade.

Wenn die neue Funktion keinem dieser beiden Beispiele entspricht, ist sie weder gerade noch ungerade. Zum Beispiel:

h (x) = 7 x 2 + 5 x + 3

$h(x)=7x^{2}+5x+3$ aber

h (- x) = 7 x 2 - 5 x + 3

$h(-x)=7x^{2}-5x+3$ . Der erste Term ist in jeder Funktion gleich, aber der zweite Term ist eine Umkehrung. Daher ist diese Funktion weder gerade noch ungerade.

Methode 2 von 2: Funktion grafisch testen

Bild mit dem Titel Sagen, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist Schritt 5

1. Zeichnen Sie die Funktion. Verwenden Sie Millimeterpapier oder einen Grafikrechner, um die Funktion grafisch darzustellen. Wählen Sie verschiedene Zahlenwerte für

x

$x$ und setze das in die Funktion ein, um den resultierenden Wert von zu erhalten

ja

$ja$ berechnen. Zeichnen Sie diese Punkte in den Graphen ein und ziehen Sie nach dem Zeichnen mehrerer Punkte eine Linie durch sie, um die Funktion darzustellen.

Achten Sie beim Einzeichnen der Punkte auf positive und entsprechende negative Werte für $x$ $x$ . Wenn Sie es beispielsweise mit der Funktion $F (x) = 2 x 2 + 1$ $f(x)=2x^{2}+1$ , dann zeichnen Sie die folgenden Werte:

$F (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3$ $f(1)=2(1)^{2}+1=2+1=3$ . Daraus ergibt sich der Punkt $(1, 3)$ $(1.3)$ .
$F (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9$ $f(2)=2(2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9$ . Daraus ergibt sich der Punkt $(2, 9)$ $(2.9)$ .
$F (- 1) = 2 (- 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3$ $f(-1)=2(-1)^{2}+1=2+1=3$ . Daraus ergibt sich der Punkt $(- 1, 3)$ $(-1,3)$ .
$F (- 2) = 2 (- 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9$ $f(-2)=2(-2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9$ . Daraus ergibt sich der Punkt $(- 2, 9)$ $(-2.9)$ .

Bildtitel Sagen, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist Schritt 6

2. Beachten Sie die Symmetrie entlang der y-Achse. Bei der Betrachtung einer Funktion wird die Symmetrie ein Spiegelbild suggerieren. Wenn Sie sehen, dass der Teil des Graphen auf der rechten (positiven) Seite der y-Achse mit dem Teil des Graphen auf der linken (negativen) Seite der y-Achse übereinstimmt, dann ist der Graph symmetrisch um den y-Asche. Ist eine Funktion symmetrisch zur y-Achse, dann ist die Funktion gerade.

Sie können die Symmetrie testen, indem Sie einzelne Punkte auswählen. Wenn der y-Wert eines x-Werts gleich dem y-Wert von -x ist, dann ist die Funktion gerade. Die oben zum Plotten ausgewählten Punkte

F (x) = 2 x 2 + 1

$f(x)=2x^{2}+1$ folgende Ergebnisse geben:

(1.3) und (-1.3)

(2.9) und (-2.9).

Die entsprechenden y-Werte für x=1 und x=-1 und für x=2 und x=-2 zeigen an, dass dies eine gerade Funktion ist. Für einen besseren Test reicht die Auswahl von zwei Punkten nicht aus, aber es ist ein guter Hinweis.

Bildtitel Sagen, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist Schritt 7

3. Test auf Symmetrie vom Ursprung aus. Der Ursprung ist der Mittelpunkt (0,0). Ursprungssymmetrie bedeutet, dass ein positives Ergebnis für einen gewählten x-Wert einem negativen Ergebnis für -x entspricht und umgekehrt. Ungerade Funktionen weisen Ursprungssymmetrie auf.

Wenn Sie ein Paar von Testwerten für x und deren inversen entsprechenden Werten für -x auswählen, sollten Sie inverse Ergebnisse erhalten. Betrachten Sie die Funktion

F (x) = x 3 + x

$f(x)=x^{3}+x$ . Diese Funktion gibt die folgenden Punkte zurück:

F (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2

$f(1)=1^{3}+1=1+1=2$ . Der Punkt ist (1,2).

F (- 1) = (- 1) 3 + (- 1) = - 1 - 1 = - 2

$f(-1)=(-1)^{3}+(-1)=-1-1=-2$ . Der Punkt ist (-1,-2).

F (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10

$f(2)=2^{3}+2=8+2=10$ . Der Punkt ist (2,10).

F (- 2) = (- 2) 3 + (- 2) = - 8 - 2 = - 10

$f(-2)=(-2)^{3}+(-2)=-8-2=-10$ . Der Punkt ist (-2,-10).

Also f(x)=-f(-x), und Sie können schlussfolgern, dass die Funktion ungerade ist.

Bild mit dem Titel Sagen, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist Schritt 8

4. Sehen Sie, ob es keine Symmetrie gibt. Das letzte Beispiel ist eine Funktion ohne Symmetrie auf beiden Seiten. Wenn Sie sich die Grafik ansehen, sehen Sie, dass sie weder auf der y-Achse noch um den Ursprung gespiegelt ist. Sehen Sie sich die Funktion an

F (x) = x 2 + 2 x + 1

$f(x)=x^{2}+2x+1$ .

Wählen Sie ein Wertepaar für x und -x wie folgt aus:

F (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4

$f(1)=1^{2}+2(1)+1=1+2+1=4$ . Der zu plottende Punkt ist (1,4).

F (- 1) = (- 1) 2 + 2 (- 1) + (- 1) = 1 - 2 - 1 = - 2

$f(-1)=(-1)^{2}+2(-1)+(-1)=1-2-1=-2$ . Der zu plottende Punkt ist (-1,-2).

F (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10

$f(2)=2^{2}+2(2)+2=4+4+2=10$ . Der zu plottende Punkt ist (2,10).

F (- 2) = (- 2) 2 + 2 (- 2) + (- 2) = 4 - 4 - 2 = - 2

$f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)+(-2)=4-4-2=-2$ . Der zu plottende Punkt ist (2,-2).

Dies gibt Ihnen bereits genug Punkte, um zu bemerken, dass es keine Symmetrie gibt. Die y-Werte für gegenüberliegende Paare von x-Werten sind nicht gleich und auch nicht umgekehrt. Diese Funktion ist weder gerade noch ungerade.

Sie können diese Funktion sehen,

F (x) = x 2 + 2 x + 1

$f(x)=x^{2}+2x+1$ , kann umgeschrieben werden als

F (x) = (x + 1) 2

$f(x)=(x+1)^{2}$ . In dieser Form geschrieben sieht es so aus, als ob es eine gerade Funktion ist, weil es nur einen Exponenten gibt, und das ist eine gerade Zahl. Dieses Beispiel veranschaulicht jedoch, dass Sie nicht feststellen können, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist, wenn sie in Klammern eingeschlossen ist. Sie müssen die Funktion einzeln auswerten und dann die Exponenten untersuchen.

Tipps

Wenn alle Formen einer Variablen in der Funktion gerade Exponenten haben, dann ist die Funktion gerade. Sind alle Exponenten ungerade, dann ist die Funktion insgesamt ungerade.