Genauigkeit bestimmen

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Genauigkeit bedeutet, dass eine Messung mit einem bestimmten Werkzeug oder Instrument bei jeder Verwendung ähnliche Ergebnisse liefert. Wenn Sie beispielsweise fünfmal hintereinander auf eine Waage treten, sollte Ihnen eine präzise Waage jedes Mal das gleiche Gewicht anzeigen. In Mathematik und Naturwissenschaften ist die Berechnungsgenauigkeit unerlässlich, um festzustellen, ob Ihre Instrumente und Messungen gut genug sind, um gute Daten zu erhalten. Sie können die Genauigkeit jedes Datensatzes anhand des Wertebereichs, der mittleren Abweichung oder der Standardabweichung darstellen.

Schritte

Methode 1 von 4: Berechnung der Reichweite

1. Den höchsten gemessenen Wert ermitteln. Es hilft, Ihre Daten in numerischer Reihenfolge zu sortieren, vom niedrigsten zum höchsten. Dadurch wird sichergestellt, dass Sie keinen der Werte überspringen. Wählen Sie dann den Wert am Ende der Liste aus.

Angenommen, Sie testen die Genauigkeit einer Waage und sehen fünf Messwerte: 11, 13, 12, 14, 12. Sortiert werden diese Werte als 11, 12, 12, 13, 14 . angezeigt. Der höchste Wert ist 14.

2. Ermitteln Sie den niedrigsten gemessenen Wert. Sobald Ihre Daten sortiert sind, können Sie den niedrigsten Wert ganz einfach am Anfang der Liste finden.

Innerhalb der Messdaten der Waage ist der niedrigste Wert 11.

3. Subtrahiere den niedrigsten Wert vom höchsten. Der Bereich eines Datensatzes ist die Differenz zwischen den höchsten und niedrigsten Messwerten. Einfach voneinander subtrahieren. Algebraisch wird die Spanne wie folgt ausgedrückt:

Palette = x (m ein x) - x (m ich n)

${text{Bereich}}=x(max)-x(min)$

Der Bereich der Beispieldaten ist:

Palette = x (m ein x) - x (m ich n) = 14 - 11 = 3

${text{Bereich}}=x(max)-x(min)=14-11=3$

4. Zeigen Sie den Bereich als Genauigkeit an. Beim Melden von Daten ist es wichtig, dass die Leser wissen, was Sie gemessen haben. Da Genauigkeit in verschiedenen Metriken angegeben wird, müssen Sie angeben, was Sie melden möchten. Für diese Daten geben Sie an: Mittelwert = 12,4, Bereich = 3. Oder einfach: Mittelwert = 12,4 ±3.

Der Mittelwert ist nicht unbedingt ein Teil der Berechnungsspanne oder Genauigkeit, sondern ist im Allgemeinen die erste Berechnung für die Meldung des Messwerts. Der Mittelwert wird gebildet, indem die Summe der Messwerte durch die Anzahl der Elemente in der Gruppe geteilt wird. Der Mittelwert dieser Datenreihe ist (11 + 13 + 12 + 14 + 12) / 5 = 12,4.

Methode 2 von 4: Berechnung der mittleren Abweichung

1. Bestimmen Sie zuerst den Durchschnitt der Daten. Die mittlere Abweichung ist ein genaueres Maß für die Genauigkeit einer Gruppe von Messungen oder Werten eines Experiments. Der erste Schritt zur Ermittlung der mittleren Abweichung besteht darin, den Mittelwert der Messwerte zu berechnen. Der Mittelwert ist die Summe der Werte geteilt durch die Anzahl der Messungen.

In diesem Beispiel verwenden wir dieselben Beispieldaten wie zuvor. Angenommen, es wurden fünf Messungen vorgenommen, 11, 12, 13, 14 und 12. Der Mittelwert dieser Werte ist (11 + 13 + 12 + 14 + 12) / 5 = 12,4.

2. Berechnen Sie die absolute Abweichung jedes Wertes vom Mittelwert. Für diese Berechnung der Genauigkeit müssen Sie bestimmen, wie nahe jeder Wert am Mittelwert liegt. Subtrahiere dazu den Mittelwert jeder Zahl. Bei dieser Messung spielt es keine Rolle, ob der Wert über oder unter dem Durchschnitt liegt. Subtrahiere die Zahlen und verwende einfach den positiven Wert des Ergebnisses. Dies wird auch als "absoluter Wert" bezeichnet.

Algebraisch wird der Absolutwert dargestellt, indem zwei vertikale Balken um die Berechnung gelegt werden. Folgendermaßen:

Absolute Abweichung = | x - μ |

${text{Absolute Abweichung}}=|x-mu |$

Diese Berechnung besagt

x

$x$ für jeden der experimentellen Werte und

μ

$mu$ für den berechneten Durchschnitt.

Bei den Werten der Beispieldatenreihen sind die absoluten Abweichungen:

| 12 - 12, 4 | = 0, 4

$|12-12,4|=0,4$

| 11 - 12, 4 | = 1, 4

$|11-12,4|=1,4$

| 14 - 12, 4 | = 1, 6

$|14-12,4|=1,6$

| 13 - 12, 4 | = 0, 6

$|13-12,4|=0,6$

| 12 - 12, 4 | = 0, 4

$|12-12,4|=0,4$

3. Bestimmen Sie die mittlere Abweichung. Verwenden Sie die absoluten Abweichungen und ermitteln Sie ihren Mittelwert. Wie beim ursprünglichen Datensatz addiert man die Werte zusammen und teilt die Summe durch die Anzahl der Werte. Dies wird algebraisch dargestellt als:

Mittlere Abweichung = Σ | x - μ | n

${text{mittlere Abweichung}}={frac{Sigma |x-mu |}{n}}$

Die Berechnung dieser Beispieldaten sieht wie folgt aus:

Mittlere Abweichung = 0, 4 + 1, 4 + 1, 6 + 0, 6 + 0, 4 5

${text{mittlere Abweichung}}={frac{0,4+1,4+1,6+0,6+0,4}{5}}$

Mittlere Abweichung = 4, 4 5

${text{mittlere Abweichung}}={frac{4,4}{5}}$

Mittlere Abweichung = 0, 88

${text{Mittlere Abweichung}}=0.88$

4. Geben Sie das Ergebnis der Genauigkeit an. Dieses Ergebnis kann als Mittelwert plus oder minus der mittleren Abweichung angegeben werden. Für diesen Beispieldatensatz sieht dies wie 12,4 ±0,88 . aus. Beachten Sie, dass die Angabe der Genauigkeit als mittlere Abweichung die Messung viel genauer erscheinen lässt als mit dem Bereich.

Methode 3 von 4: Berechnen Sie die Standardabweichung

1. Verwenden Sie die richtige Formel für die Standardabweichung. Für jede Datensatzgröße ist die Standardabweichung eine zuverlässige Statistik zur Anzeige der Genauigkeit. Es gibt zwei Formeln zur Berechnung der Standardabweichung, mit einem sehr kleinen Unterschied zwischen ihnen. Sie verwenden eine Formel, wenn Ihre Metriken eine gesamte Population abdecken. Die zweite Formel wird verwendet, wenn die gemessenen Daten nur eine Stichprobe der Grundgesamtheit sind.

Ihre Daten repräsentieren eine ganze Population, wenn Sie alle möglichen Maßnahmen von allen möglichen Probanden gesammelt haben. Wenn Sie beispielsweise Menschen mit einer sehr seltenen Krankheit testen und sicher sind, dass Sie alle mit dieser Krankheit getestet haben, schließt dies die gesamte Bevölkerung ein. Die Formel für die Standardabweichung lautet in diesem Fall:

$Σ = \sqrt{} Σ (x - μ) 2 n$ $sigma ={sqrt{{frac{Sigma (x-mu)^{2}}{n}}}}$

Eine Stichprobe ist eine Gruppe von Daten, die kleiner ist als eine gesamte Grundgesamtheit. Sie werden dieses normalerweise am häufigsten verwenden. Die Standardabweichungsformel für eine Stichprobe lautet:

Σ = \sqrt{} Σ (x - μ) 2 n - 1

$sigma ={sqrt{{frac{Sigma (x-mu)^{2}}{n-1}}}}$

Beachten Sie, dass der einzige Unterschied der Nenner des Bruchs ist. Für eine vollständige Bevölkerung dividieren durch

n

$n$ . Wenn Sie ein Muster haben, teilen Sie es bitte

n - 1

$n-1$ .

2. Ermitteln Sie den Durchschnitt der Datenwerte. Wie bei der Berechnung der mittleren Abweichung beginnen Sie mit der Ermittlung des Mittelwertes der Datenwerte.

Bei Verwendung der gleichen Messwerte wie oben angegeben beträgt der Mittelwert 12,4.

3. Finden Sie das Quadrat jeder Variante. Ziehen Sie für jeden Datenpunkt den Datenwert vom Mittelwert ab und quadrieren Sie das Ergebnis. Da Sie diese Variationen quadrieren, spielt es keine Rolle, ob die Differenz positiv oder negativ ist. Das Quadrat der Differenz ist immer positiv.

Für die fünf Datenwerte in diesem Beispiel laufen diese Berechnungen so ab:

(12 - 12, 4) 2 = (- 0, 4)^{2} = 0, 16

$(12-12,4)^{2}=(-0,4)^{2}=0,16$

(11 - 12, 4) 2 = (- 1, 4)^{2} = 1, 96

$(11-12.4)^{2}=(-1.4)^{2}=1.96$

(14 - 12, 4) 2 = 1, 6^{2} = 2, 56

$(14-12.4)^{2}=1.6^{2}=2.56$

(13 - 12, 4) 2 = 0, 6^{2} = 0, 36

$(13-12,4)^{2}=0,6^{2}=0,36$

(12 - 12, 4) 2 = (- 0, 4)^{2} = 0, 16

$(12-12,4)^{2}=(-0,4)^{2}=0,16$

4. Berechnen Sie die Summe der quadrierten Differenzen. Der Zähler des Bruchs in der Standardabweichung ist die Summe der quadrierten Differenzen zwischen den Werten und dem Mittelwert. Sie können diesen Betrag ermitteln, indem Sie die Zahlen aus der vorherigen Berechnung zusammenzählen.

Für den Beispieldatensatz sind dies:

0, 16 + 1, 96 + 2, 56 + 0, 36 + 0, 16 = 5, 2

$0,16+1,96+2,56+0,36+0,16=5,2$

5. Durch Datengröße dividieren. Dies ist der einzige Schritt, der sich in einer Populationsberechnung von einer Stichprobe unterscheidet. Für eine vollständige Population dividierst du durch

n

$n$ (die Anzahl der Werte). In einer Stichprobe dividierst du durch

n - 1

$n-1$ .

Das folgende Beispiel hat nur fünf Messungen und ist daher nur ein Beispiel. Also für die fünf verwendeten Werte dividieren durch (5 - 1) oder 4. Das Ergebnis ist

5, 2 / 4 = 1, 3

$5,2/4=1,3$ .

6. Finden Sie die Quadratwurzel des Ergebnisses. An dieser Stelle stellt die Berechnung die sogenannte Varianz des Datensatzes dar. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Berechnen Sie mit einem Taschenrechner die Quadratwurzel und damit die Standardabweichung.

Σ = \sqrt{1.3} = 1, 14

$sigma ={sqrt{1.3}}=1,14$

7. Zeige dein Ergebnis. Anhand dieser Berechnung kann die Genauigkeit der Skala durch Angabe des Mittelwertes plus oder minus der Standardabweichung angegeben werden. Für diese Daten wird es 12,4 ±1,14.

Die Standardabweichung ist vielleicht das gebräuchlichste Maß für die Präzision. Aus Gründen der Übersichtlichkeit ist es jedoch immer noch eine gute Idee, eine Fußnote oder Klammern zu verwenden, um anzugeben, dass der Präzisionswert die Standardabweichung darstellt.

Methode 4 von 4: Entscheiden Sie, wie Sie die Genauigkeit angeben

1. Verwenden Sie das Wort Genauigkeit richtig. Genauigkeit ist ein Begriff, der verwendet wird, um die Wiederholbarkeit von Messungen anzugeben. Wenn Sie eine Gruppe von Daten erfassen, entweder durch Messung oder durch ein bestimmtes Experiment, beschreibt die Genauigkeit, wie nahe die Ergebnisse jeder Messung oder jedes Experiments beieinander liegen.

Genauigkeit ist nicht gleich Genauigkeit. Die Genauigkeit misst, wie nahe experimentelle Werte am tatsächlichen oder theoretischen Wert liegen, während die Genauigkeit misst, wie nahe die gemessenen Werte beieinander liegen.
Die Daten können genau, aber nicht genau oder genau, aber nicht genau sein. Genaue Messwerte können nahe am Ziel, aber möglicherweise nicht nahe beieinander liegen. Genaue Messwerte liegen nahe beieinander, unabhängig davon, ob sie nahe an den Zielwerten liegen oder nicht.

2. Wählen Sie den besten Genauigkeitsgrad. Das Wort `Genauigkeit` hat keine einzige Bedeutung. Es ist möglich, die Genauigkeit mit mehreren verschiedenen Messungen anzuzeigen. Sie müssen entscheiden, welche die beste ist.

Bereich. Bei kleinen Datensätzen mit etwa zehn oder weniger Messungen ist der Wertebereich ein gutes Maß für die Genauigkeit. Dies gilt insbesondere dann, wenn die Werte ziemlich eng beieinander gruppiert sind. Wenn Sie feststellen, dass ein oder zwei Werte weit von den anderen Werten entfernt sind, sollten Sie wahrscheinlich eine andere Berechnung verwenden.

Mittlere Abweichung. Die mittlere Abweichung ist ein genaueres Maß für die Genauigkeit eines kleinen Satzes von Datenwerten.

Standardabweichung. Die Standardabweichung ist vielleicht das bekannteste Maß für die Genauigkeit. Die Standardabweichung kann verwendet werden, um die Genauigkeit der Messungen für eine gesamte Grundgesamtheit oder eine Stichprobe der Grundgesamtheit zu berechnen.

3. Stellen Sie Ihre Ergebnisse klar dar. Sehr oft geben Forscher Daten aus, indem sie den Mittelwert des gemessenen Wertes gefolgt vom Genauigkeitsgrad angeben. Die Genauigkeit wird mit dem `±`-Symbol angezeigt. Dies gibt einen Hinweis auf die Genauigkeit, erklärt dem Leser jedoch nicht klar, ob die Zahl nach dem „±“-Symbol ein Bereich, eine Standardabweichung oder eine andere Messung ist. Um dies deutlich zu machen, müssen Sie entweder in einer Fußnote oder als Kommentar in Klammern angeben, welchen Genauigkeitsgrad Sie verwendet haben.

Für eine gegebene Datenreihe kann das Ergebnis als 12,4 ±3 . angezeigt werden. Eine anschaulichere Art, dieselben Daten anzugeben, wäre jedoch die folgende: `Mittelwert = 12,4, Bereich = 3.`

Tipps

Wenn einer der Werte in der Stichprobe viel höher oder niedriger als der Rest Ihrer Werte ist, schließen Sie diesen Wert nicht aus Ihren Berechnungen aus. Auch wenn es ein Fehler war, bleiben es Daten und müssen zur korrekten Berechnung verwendet werden.
In diesem Artikel wurden der mathematischen Einfachheit halber nur fünf Werte verwendet. In einem tatsächlichen Experiment sollten Sie für eine genauere Berechnung mehr als fünf Metriken verwenden. Je mehr Proben Sie ausführen, desto genauer.

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