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Beachten Sie, dass jedes Ergebnis 10 US-Dollar niedriger ist als oben beschrieben, da Sie unabhängig vom Ergebnis zuerst 10 US-Dollar pro Spiel zahlen müssen. 
Ihr 1/6-Rechner kann etwa 0,166667 . ergeben. Wir runden dies auf 0,167 auf, um die Berechnung zu vereinfachen, ohne die Genauigkeit zu beeinträchtigen. Wenn Sie ein sehr genaues Ergebnis wünschen, wandeln Sie es nicht in Dezimalzahlen um, sondern geben Sie einfach 1/6 in die Formel ein und berechnen Sie es so auf Ihrem Taschenrechner. 
Sie müssen diese Ergebnisse jetzt nicht berechnen, wenn Sie einen Taschenrechner haben, der mehrere Operationen gleichzeitig ausführen kann. Sie erhalten ein genaueres Ergebnis, wenn Sie die gesamte Gleichung eingeben. 
Je öfter sich eine Situation wiederholt, desto genauer gibt der Erwartungswert das tatsächliche, durchschnittliche Ergebnis wieder. Zum Beispiel könnten Sie das Spiel 5 Mal hintereinander spielen und jedes Mal verlieren, was zu einem durchschnittlichen Verlust von 10 € führt. Spielt man das Spiel jedoch 1000 Mal mehr, kommt das durchschnittliche Ergebnis immer näher an den erwarteten Wert von -1,67 € pro Spiel. Dieses Prinzip heißt "das Gesetz der großen Zahlen." 
x = ___ 
x = (0,5)(x+1) + ___ Wir werden den leeren Raum füllen, während wir weiter über andere Situationen nachdenken. Sie können Brüche anstelle von Dezimalzahlen verwenden, wenn dies einfacher oder notwendiger ist. 
Wenn der zweite Wurf eine Münze ist, sind wir wieder am Anfang. Wenn das zweite Mal auch eine Tasse ist, dann sind wir fertig! 
x = (0.5)(x+1) + (0.25)(x+2) + ___ 
x = (0,5)(x+1) + (0,25)(x+2) + (0,25)(2) Wenn Sie nicht sicher sind, ob Sie alle möglichen Situationen durchdacht haben, können Sie ganz einfach überprüfen, ob die Gleichung vollständig ist. Die erste Zahl in jedem Teil der Gleichung steht für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt. Dies ergibt immer 1. Hier 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1, also wissen wir, dass wir jede Situation eingeschlossen haben. 
x = 0,5x + (0,5)(1) + 0,25x + (0,25)(2) + (0,25)(2) x = 0,5x + 0,5 + 0,25x + 0,5 + 0,5 x = 0,75x + 1,5 
x = 0,75x + 1,5 x - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x 0,25x = 1,5 (0,25x)/(0,25) = (1,5)/(0,25) x = 6 Im Durchschnitt müssen Sie eine Münze 6-mal werfen, bevor Sie zweimal den Kopf werfen können. 
Der Glaube, dass man beim Werfen von Münzen (oder jedem anderen Glücksspiel) Glück oder Pech haben kann, oder dass all dein Pech nun vorbei ist und das Glück auf deiner Seite ist, wird auch Spielerfehler genannt (oder Spielerfehler). Dies hat mit der Neigung der Menschen zu tun, riskante oder dumme Entscheidungen zu treffen, wenn sie das Gefühl haben, dass das Glück auf ihrer Seite ist oder dass sie "Glückssträhne" oder wenn sie ihre fühlen "das Glück wendet sich." 
Berechnung des erwartungswertes
Erwartung ist ein statistischer Begriff und ein Konzept, das verwendet wird, um zu entscheiden, wie nützlich oder schädlich eine Handlung ist. Um den Erwartungswert zu berechnen, ist es notwendig, jedes Ergebnis in einer gegebenen Situation und die damit verbundene Wahrscheinlichkeit, d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ergebnis eintritt, gut zu verstehen. Die folgenden Schritte enthalten einige Beispielübungen, die Ihnen helfen, das Konzept des Erwartungswerts zu verstehen.
Schritte
Methode 1 von 3: Ein erstes einfaches Problem
1. Lesen Sie die Aufgabe. Bevor Sie beginnen, über alle möglichen Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten nachzudenken, ist es wichtig, dass Sie das Problem gut verstehen. Zum Beispiel ein Würfelspiel, das 10 € pro Spiel kostet. Ein 6-seitiger Würfel wird einmal gewürfelt und Ihr Gewinn hängt von der Zahl ab, die Sie würfeln. Wenn eine 6 gewürfelt wird, gewinnen Sie 30 €; eine 5 bringt Ihnen 20 $; jede andere Zahl ergibt nichts.
2. Listen Sie alle möglichen Ergebnisse auf. Es hilft, alle möglichen Ergebnisse in einer bestimmten Situation aufzulisten. Im obigen Beispiel gibt es 6 mögliche Ergebnisse. Diese sind: (1) eine 1 würfeln und Sie verlieren 10 €, (2) eine 2 würfeln und 10 € verlieren, (3) eine 3 würfeln und 10 € verlieren, (4) eine 4 würfeln und 10 € verlieren, (5) würfeln Sie eine 5 und gewinnen Sie 10 €, (6) würfeln Sie eine 6 und gewinnen Sie 20 €.
3. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit von 6 beliebigen Ergebnissen gleich. Die Wahrscheinlichkeit, eine Zufallszahl zu würfeln, beträgt 1 zu 6. Um dies einfacher aufzuschreiben, schreiben wir den Bruch (1/6) mit einem Taschenrechner als Dezimalzahl: 0,167. Schreiben Sie diese Wahrscheinlichkeit neben jedes Ergebnis, insbesondere wenn Sie ein Problem mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten für jedes Ergebnis lösen möchten.
4. Notieren Sie den Wert jedes Ergebnisses. Multiplizieren Sie die Anzahl von € eines Ergebnisses mit der Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ergebnis eintritt, um zu berechnen, wie viel Geld dieses Ergebnis zum erwarteten Wert beiträgt. Das Ergebnis einer 1 ist zum Beispiel -$10 und die Wahrscheinlichkeit einer 1 ist 0,167. Der Wert des Würfelns einer 1 ist daher (-10) * (0,167).
5. Addiere den Wert jedes Ergebnisses zusammen, um den erwarteten Wert eines Ereignisses zu erhalten. Um mit dem obigen Beispiel fortzufahren, ist der Erwartungswert des Würfelspiels: (-10 *0.167) + (-10 *0.167) + (-10 *0.167) + (-10 *0.167) + (10 *0.167) + (20 *0,167) oder - 1,67 €. Sie können also damit rechnen, jedes Mal 1,67 $ bei diesem Spiel zu verlieren (pro Spiel).
6. Welche Auswirkungen hat die Berechnung des Erwartungswerts?. Im obigen Beispiel haben wir festgestellt, dass der erwartete Gewinn (Verlust) - 1,67 USD pro Rolle betragen würde. Dies ist ein unmögliches Ergebnis für 1 Spiel; Sie können 10 € verlieren, 10 € gewinnen oder 20 € gewinnen. Aber auf lange Sicht ist der Erwartungswert eine brauchbare, durchschnittliche Wahrscheinlichkeit. Wenn Sie dieses Spiel weiterspielen, verlieren Sie im Durchschnitt etwa 1,67 $ pro Spiel. Eine andere Möglichkeit, über den Erwartungswert nachzudenken, besteht darin, dem Spiel bestimmte Kosten (oder Vorteile) zuzuweisen; Sie sollten dieses Spiel nur spielen, wenn Sie denken, dass es es wert ist.
Methode 2 von 3: Berechnung des Erwartungswertes für ein bestimmtes Ergebnis
1. Verwenden Sie diese Methode, um die durchschnittliche Anzahl von Münzen zu berechnen, die Sie werfen müssen, bevor ein bestimmtes Muster auftritt. Sie können die Methode zum Beispiel verwenden, um die erwartete Anzahl von Münzen zu ermitteln, die Sie werfen müssen, bis Sie zweimal hintereinander Kopf treffen. Dieses Problem ist etwas kniffliger als ein Standard-Erwartungswertproblem. Wenn Sie also mit dem Erwartungswert nicht vertraut sind, lesen Sie zuerst den obigen Teil dieses Artikels.
2. Angenommen, wir suchen einen Wert x. Sie versuchen herauszufinden, wie viele Münzen Sie durchschnittlich umwerfen müssen, um zweimal hintereinander Kopf zu bekommen. Wir machen jetzt einen Vergleich, um die Antwort zu finden. Wir nennen die gesuchte Antwort x. Wir machen den notwendigen Vergleich Schritt für Schritt. Aktuell haben wir folgendes:
3. Denken Sie darüber nach, was passiert, wenn sich der erste Flip auszahlt.In der Hälfte der Fälle wird dies der Fall sein. Wenn dies der Fall ist, müssen Sie sich umdrehen "verschwendet", während sich die Wahrscheinlichkeit, zwei Köpfe hintereinander zu treffen, nicht geändert hat. Wie beim Münzwurf wird erwartet, dass Sie durchschnittlich oft werfen müssen, um zwei Köpfe hintereinander zu erzielen. Mit anderen Worten, Sie sollten damit rechnen, x-mal zu würfeln, plus die, die Sie bereits gedreht haben. In Form einer Gleichung:
4. Überlege, was passiert, wenn du deinen Kopf wirfst. Es besteht eine Chance von 0,5 (oder 1/2), dass Sie beim ersten Mal eine Tasse rollen. Dies scheint dem Ziel, zweimal hintereinander einen Kopf zu werfen, näher zu kommen, aber wie viel? Der einfachste Weg, dies herauszufinden, besteht darin, über Ihre Optionen beim zweiten Wurf nachzudenken:
5. Erfahren Sie, wie Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass zwei Ereignisse beide auftreten. Wir wissen jetzt, dass Sie eine Chance von 50 % haben, einen Kopf zu treffen, aber wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander einen Kopf zu rollen?? Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, multiplizieren Sie die Wahrscheinlichkeit von beiden zusammen. In diesem Fall ist es 0,5 x 0,5 = 0,25. Dies ist natürlich auch die Wahrscheinlichkeit, dass Sie zuerst Kopf und dann Zahl werfen, denn beide haben eine Wahrscheinlichkeit von 0.5 auftreten: 0,5 x 0,5 = 0,25.
6. Addiere das Ergebnis für "Kopf, dann Zahl" beim vergleich. Nachdem wir nun die Wahrscheinlichkeit berechnet haben, dass dieses Ereignis eintritt, können wir die Gleichung erweitern. Es besteht eine Chance von 0,25 (oder 1/4), dass wir zwei Würfe verschwenden, ohne einen Schritt weiter zu kommen. Aber jetzt brauchen wir im Durchschnitt noch x Würfe mehr, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen, plus die 2, die wir bereits gewürfelt haben. In Form einer Gleichung wird daraus (0,25)(x+2), die wir nun zur Gleichung hinzufügen können:
7. Das Ergebnis voranstellen "Kopf Kopf" zum Vergleich hinzufügen. Wenn Sie mit den ersten beiden Münzwürfen Kopf werfen, sind Sie fertig. Du hast das Ergebnis in genau 2 Würfen. Wie wir bereits festgestellt haben, besteht eine Wahrscheinlichkeit von 0,25, dass dies geschieht, also lautet die Gleichung dafür (0,25) (2). Unsere Gleichung ist nun vollständig:
8. Vereinfachen Sie die Gleichung. Vereinfachen wir die Gleichung durch Multiplizieren. Denken Sie daran, wenn Sie etwas in Klammern sehen wie folgt: (0.5)(x+1), dann multiplizieren Sie 0.5 mit jedem Term innerhalb des zweiten Satzes von Klammern. Daraus ergibt sich folgendes: 0.5x + (0.5)(1) oder 0,5x + 0,5. Lassen Sie uns dies für jeden Term in der Gleichung tun und dann diese Terme kombinieren, um die Dinge etwas einfacher aussehen zu lassen:
9. Auflösen nach x. Wie in jeder Gleichung müssen Sie das x auf einer Seite der Gleichung isolieren, um es zu berechnen. Denken Sie daran, dass x dasselbe bedeutet wie "die durchschnittliche Anzahl von Münzen, die Sie werfen müssen, um zweimal hintereinander Kopf zu bekommen." Wenn wir x berechnet haben, haben wir auch unsere Antwort gefunden.
Methode 3 von 3: Das Konzept verstehen
1. Was genau ist ein Erwartungswert?. Der Erwartungswert ist nicht unbedingt das offensichtlichste oder logischste Ergebnis. Manchmal kann ein Erwartungswert in einer bestimmten Situation sogar ein unmöglicher Wert sein. Der erwartete Wert könnte beispielsweise +5 $ für ein Spiel mit einem Preis von nicht mehr als 10 $ betragen. Der Erwartungswert gibt an, wie viel Wert ein bestimmtes Ereignis hat. Wenn ein Spiel einen erwarteten Wert von +$5 hat, können Sie es spielen, wenn Sie der Meinung sind, dass es die Zeit und das Geld wert ist, das Sie pro Spiel erhalten können. Wenn ein anderes Spiel einen erwarteten Wert von -20 USD hat, werden Sie es nur spielen, wenn Sie der Meinung sind, dass jedes Spiel die 20 USD wert ist.
2. Das Konzept unabhängiger Ereignisse verstehen. Im Alltag denken viele von uns, dass wir einen glücklichen Tag haben, wenn einige gute Dinge passieren, und wir erwarten, dass der Rest des Tages gleich bleibt. Genauso können wir denken, dass wir vorher schon genug Unfälle hatten und dass jetzt etwas wirklich Schönes passieren muss. Mathematisch läuft das so nicht. Wenn Sie eine normale Münze werfen, besteht genau die gleiche Chance, dass Sie einen Kopf oder eine Münze werfen. Es spielt keine Rolle, wie oft Sie geworfen haben; Beim nächsten Werfen funktioniert es immer noch genauso. Die Münze zu werfen ist "unabhängig" von den anderen Abgüssen ist es davon nicht betroffen.
3. Verstehe das Gesetz der großen Zahlen. Sie könnten denken, dass der Erwartungswert nicht wirklich nützlich ist, da er Ihnen nur selten sagt, was das tatsächliche Ergebnis einer Situation ist. Wenn Sie berechnet haben, dass der erwartete Wert eines Roulette-Spiels -1€ beträgt und Sie dreimal das Spiel spielen, erhalten Sie normalerweise -10€ oder +60€ oder ein anderes Ergebnis. Der "Gesetz der großen Zahlen" hilft zu erklären, warum der Erwartungswert nützlicher ist, als Sie vielleicht denken: Je öfter Sie spielen, desto näher wird das durchschnittliche Ergebnis am Erwartungswert liegen. Wenn man sich die große Anzahl von Ereignissen ansieht, besteht die Möglichkeit, dass das Endergebnis dem erwarteten Wert nahe kommt.
Tipps
- Für Situationen, in denen mehrere Ergebnisse möglich sind, können Sie eine Tabelle im Computer erstellen, um den Erwartungswert aus den Ergebnissen und ihren Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.
- Die obige €-Berechnung funktioniert auch in anderen Währungen.
Notwendigkeiten
- Bleistift
- Papier
- Taschenrechner
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