Das Unsicherheitsprinzip für einen Quanten-Harmonischen Oszillator überprüfen

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Der harmonische Quantenoszillator ist die Quantenanalogie des klassischen einfachen harmonischen Oszillators. Mit der Grundzustandslösung nehmen wir die Position und die erwarteten Impulswerte und überprüfen damit das Unsicherheitsprinzip.

Schritte

Teil1 von 3: Eine Grundzustandslösung

1. Erinnere dich an die Schrödinger-Gleichung. Diese partielle Differentialgleichung ist die grundlegende Bewegungsgleichung innerhalb der Quantenmechanik und beschreibt, wie ein Quantenzustand

ψ

$psi$ entwickelt sich mit der Zeit.

\hat{huh}

${hat{H}}$ bezeichnet den Hamilton-Operator, den Energieoperator, der die Gesamtenergie eines Systems beschreibt.

$ich ℏ \partial ψ \partial T = \hat{huh} ψ$ $ihbar {frac{partialpsi }{partial t}}={hat{H}}psi$

2. Schreiben Sie den Hamilton-Operator für den harmonischen Oszillator. Obwohl die Orts- und Impulsvariablen durch ihre entsprechenden Operatoren ersetzt wurden, ähnelt der Ausdruck immer noch dem der kinetischen und potentiellen Energie eines klassischen harmonischen Oszillators. Da wir im physischen Raum arbeiten, ist die Operatorposition gegeben durch

\hat{x} = x,

${hat{x}}=x,$ während der Impulsoperator gegeben ist durch

\hat{P} = - ich ℏ \partial \partial x .

${hat{p}}=-ihbar {frac{partial }{partial x}}$

\hat{huh} = \hat{P} 2 2 m + \frac{1}{2} m Ω^{2}^{\hat{x} 2}

${hat{H}}={frac{{hat{p}}^{{2}}}{2m}}+{frac{1}{2}}momega ^{{2}} {hat{x}}^{{2}}$

3. Schreiben Sie die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. Wir sehen, dass der Hamilton-Operator nicht explizit von der Zeit abhängt, sodass die Lösungen der Gleichung unveränderliche Zustände sein werden. Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ist eine Gleichung des Eigenwertes, daher bedeutet das Lösen, dass wir die Energieeigenwerte und ihre entsprechenden Eigenfunktionen – die Wellenfunktionen – finden.

- ℏ 2 2 m D 2 ψ D x^{2} + \frac{1}{2} m Ω^{2} x^{2} ψ = E ψ

$-{frac{hbar^{{2}}}{2m}}{frac{{mathrm{d}}^{{2}}psi }{{mathrm{d}}x^{{ 2}}}}+{frac{1}{2}}momega ^{{2}}x^{{2}}psi =Epsi$

4. Lösen Sie die Differentialgleichung. Diese Differentialgleichung hat variable Koeffizienten und ist mit einfachen Methoden nicht leicht zu lösen. Nach der Normalisierung kann die Grundzustandslösung jedoch wie folgt geschrieben werden:. Denken Sie daran, dass diese Lösung nur einen eindimensionalen Oszillator beschreibt.

ψ (x) = (m Ω π ℏ) 1 / 4 \exp (- m Ω 2 ℏ x^{2})

$psi(x)=left({frac{momega }{pihbar}}right)^{{1/4}}exp left(-{frac{momega }{ 2hbar}}x^{{2}}rechts)$

Dies ist ein Gaussian, zentriert auf

x = 0.

$x=0$ Wir nutzen die Tatsache, dass diese Funktion sogar unsere Berechnungen im nächsten Teil vereinfachen soll.

Teil2 von 3: Erwartungswerte

1. Erinnere dich an die Formel für Unsicherheit. Die Unsicherheit eines beobachtbaren Wertes wie einer Position ist mathematisch gleich der Standardabweichung. Das heißt, wir bestimmen den Mittelwert, subtrahieren jeden Wert vom Mittelwert, quadrieren diese Werte und berechnen den Mittelwert und ziehen dann die Quadratwurzel des Ergebnisses ab.

$Σ x = \sqrt{Sex x} 2 Sex - Sex x {Sex}^{2}$ $sigma_{{x}}={sqrt{langle x^{{2}}rangle -langle xrangle^{{2}}}}$

2. Bestimmen SexxSex{displaystylelangle xrangle} $langle xrangle$ . Da die Funktion gerade ist, können wir aus der Symmetrie ableiten, dass

Sex x Sex = 0.

$lang xrangle =0$

Wenn Sie das auszuwertende Integral ausschreiben, sehen Sie, dass der Integrand eine ungerade Funktion ist, denn eine ungerade Funktion mal eine gerade Funktion ist ungerade.

Sex x Sex = \int - \infty \infty x | ψ (x) |^{2} D x

$langle xrangle =int_{{-infty}}^{{infty}}x|psi(x)|^{{2}}{mathrm{d}}x$

Eine Eigenschaft einer ungeraden Funktion ist, dass es für jeden positiven Wert der Funktion einen Doppelgänger gibt – einen zugehörigen negativen Wert – der die Funktion aufhebt. Da haben wir alle Werte von

x

$x$ auswerten, wissen wir, dass das Integral 0 wird, ohne die Berechnungen durchführen zu müssen.

3. Berechnung Sexx2Sex{displaystyle langle x^{2}rangle } $langle x^{{2}}rangle$ . Da unsere Lösung als kontinuierliche Wellenfunktion geschrieben ist, verwenden wir das Integral unten. Das Integral beschreibt den Erwartungswert für

x 2

$x^{{2}}$ , über den gesamten Raum integriert.

Sex x 2 Sex = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} | ψ (x) |^{2} D x

$langle x^{{2}}rangle =int_{{-infty}}^{{infty}}x^{{2}}|psi(x)|^{{2}}{ mathrm{d}}x$

4. Setze die Wellenfunktion in das Integral ein und vereinfache. Wir wissen, dass die Wellenfunktion gerade ist. Das Quadrat einer geraden Funktion ist auch gerade, also können wir einen Faktor von 2 außerhalb der Klammer nehmen und die untere Schranke auf 0 . senken.

Sex x 2 Sex = 2 (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} \int_{0}^{\infty} x^{2} \exp (- m Ω ℏ x^{2}) D x

$langle x^{{2}}rangle =2left({frac{momega }{pihbar}}right)^{{1/2}}int _{{0}} ^{{infty}}x^{{2}}exp left(-{frac{momega }{hbar}}x^{{2}}right){mathrm{d}} x$

5. Auswerten. Seien Sie der Erste, der

α = m Ω ℏ .

$alpha ={frac{momega }{hbar}}$ Dann integrieren wir nicht pro Teil, sondern verwenden die Gammafunktion.

\begin{matrix} Sex x \end{matrix} 2 Sex = 2 (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- α} x^{2} D x, Sie = α x^{2} = 2 (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} \int_{0}^{\infty} \frac{Sie}{α} e^{- Sie} D Sie 1 2 α x, x = \sqrt{\frac{Sie}{α}} = (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} α^{- 3 / 2} \int_{0}^{\infty} {Sie}^{1 / 2} e^{- Sie} D Sie = (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} (^{m Ω ℏ) - 3 / 2} Γ (\frac{3}{2}), Γ (\frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{π}}{2} = ℏ m Ω \frac{1}{\sqrt{π}} \frac{\sqrt{π}}{2} = ℏ 2 m Ω

${begin{ausgerichtet}langle x^{{2}}rangle &=2left({frac{momega }{pihbar}}right)^{{1/2}} int _{{0}}^{{infty}}x^{{2}}e^{{-alpha x^{{2}}}}{mathrm{d}}x, u =alpha x^{{2}}\&=2left({frac{momega }{pihbar}}right)^{{1/2}}int _{{ 0}}^{{infty}}{frac{u}{alpha}}e^{{-u}}{mathrm{d}}u{frac{1}{2alpha x}} , x={sqrt{{frac{u}{alpha }}}}&=left({frac{momega }{pi hbar}}right)^{ {1/2}}alpha^{{-3/2}}int _{{0}}^{{infty}}u^{{1/2}}e^{{-u}}{ mathrm{d}}u\&=left({frac{momega }{pihbar}}right)^{{1/2}}left({frac{m Omega }{hbar}}right)^{{-3/2}}Gamma left({frac{3}{2}}right), Gamma left({frac{3 }{2}}right)={frac{{sqrt{pi}}}{2}}\&={frac{hbar}{momega }}{frac{1} {{sqrt{pi}}}}{frac{{sqrt{pi}}}{2}}\&={frac{hbar }{2momega }}end{ausgerichtet }}$

6. Erreichen Sie die Unsicherheit in der Position. Unter Verwendung der Beziehung, die wir in Schritt 1 dieses Abschnitts ausgearbeitet haben, folgt:

Σ x

$sigma_{{x}}$ sofort aus unseren Ergebnissen.

Σ x = \sqrt{ℏ} 2 m Ω

$sigma_{{x}}={sqrt{{frac{hbar}{2momega }}}}$

7. Bestimmen SexPSex{displaystylelangle prangle} $long prangle$ . Wie bei der mittleren Position kann ein Symmetrieargument angeführt werden, das zu

Sex P Sex = 0.

$langprangle =0$ .

8. Berechnung SexP2Sex{displaystyle langle p^{2}rangle} $langle p^{{2}}rangle$ . Anstatt die Wellenfunktion direkt anzuwenden, um diesen Erwartungswert zu berechnen, können wir die Energie der Wellenfunktion verwenden, um die notwendigen Berechnungen zu vereinfachen. Die Grundzustandsenergie des harmonischen Oszillators ist unten angegeben.

E 0 = \frac{1}{2} ℏ Ω

$E_{{0}}={frac{1}{2}}hbaromega$

9. Beziehe die Energie des Grundzustands mit der kinetischen und potentiellen Energie des Teilchens in Beziehung. Es wird erwartet, dass diese Beziehung nicht nur für jede Position und jeden Impuls gilt, sondern auch für deren Erwartungswerte.

\frac{1}{2} ℏ Ω = Sex P 2 Sex 2 m + \frac{1}{2} m Ω^{2} Sex x^{2} Sex

${frac{1}{2}}hbaromega ={frac{langle p^{{2}}rangle }{2m}}+{frac{1}{2}}momega ^ {{2}}langle x^{{2}}rangle$

10. Lösen für SexP2Sex{displaystyle langle p^{2}rangle} $langle p^{{2}}rangle$ .

m ℏ Ω = Sex P 2 Sex + m^{2} Ω^{2} ℏ 2 m Ω

$mhbaromega =langle p^{{2}}rangle +m^{{2}}omega^{{2}}{frac{hbar}{2momega}}$

Sex P 2 Sex = m ℏ Ω 2

$langle p^{{2}}rangle ={frac{mhbaromega }{2}}$

11. Ankommen bei der Unsicherheit in der Dynamik.

Σ P = \sqrt{} m ℏ Ω 2

$sigma_{{p}}={sqrt{{frac{mhbaromega }{2}}}}$

Teil 3 von 3: Überprüfung der Unsicherheitsbeziehung

1. Betrachten Sie die Heisenbergsche Unschärferelation für Ort und Impuls. Die Unsicherheitsrelation ist eine grundlegende Grenze für die Genauigkeit, mit der wir bestimmte Paare von beobachtbaren Daten wie Position und Impuls messen können. Sehen Sie sich die Tipps an, um mehr Hintergrundinformationen zum Unsicherheitsprinzip zu erhalten.

$Σ x Σ_{P} \geq \frac{ℏ}{2}$ $sigma_{{x}}sigma_{{p}}geq {frac{hbar}{2}}$

2. Ersetzen Sie die Unsicherheiten des harmonischen Quantenoszillators.

\begin{matrix}  \end{matrix} \sqrt{ℏ} 2 m Ω \sqrt{} m ℏ Ω 2 \geq \frac{ℏ}{2} \frac{ℏ}{2} & \geq \frac{ℏ}{2}

${begin{ausgerichtet}{sqrt{{frac{hbar}{2momega }}}}{sqrt{{frac{mhbaromega }{2}}}}&geq { frac{hbar}{2}}\{frac{hbar}{2}}&geq {frac{hbar}{2}}end{ausgerichtet}}$

Unsere Ergebnisse stehen im Einklang mit dem Unsicherheitsprinzip. Tatsächlich erreicht diese Beziehung nur Grundzustandsgleichheit – unter der Annahme eines höheren Energiezustands nimmt die Unsicherheit von Ort und Impuls nur zu.

Tipps

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Frage zu erklären, warum die Unsicherheitsbeziehung existiert.

Aus der Wellenmechanik, den Ausdrücken der Wellenfunktion in Bezug auf Ort und Dynamik, sind Fourier-Transformationen voneinander. Eine Eigenschaft der Fourier-Transformation besteht darin, dass eine Funktion und ihre Fourier-Transformation nicht beide eindeutig lokalisiert sind.
Ein einfaches Beispiel ist die Fourier-Transformation der Rechteckfunktion. Wenn die Breite der Funktion abnimmt (lokalisierter wird), wird die Fourier-Transformation (eine Sinuskurve) immer flacher. Ein extremes Beispiel ist die Dirac-Deltafunktion, bei der die Breite infinitesimal ist (perfekte Lokalität). Die Fourier-Transformation ist eine Konstante (unendliche Unsicherheit).
Die andere Sichtweise stammt aus der Matrixmechanik. Die Orts- und Impulsoperatoren haben eine von Null verschiedene Kommutierungsbeziehung. Wenn zwei Operatoren kommutieren, wäre ihre Kommutierungsrelation null, wie durch die Klammern unten angezeigt.

$[\hat{x}, \hat{P}] = \hat{x} \hat{P} - \hat{P} \hat{x} = ich ℏ$ $[{hat{x}},{hat{p}}]={hat{x}}{hat{p}}-{hat{p}}{hat{x}}=i hbar$

Es stellt sich heraus, dass diese Kommutierungsrelation ein fundamentales Unschärfeprinzip implizieren muss. Wenn ein Operator

\hat{x}

${hat{x}}$ auf einen Zustand einwirkt, dann kollabiert die Wellenfunktion auf den Eigenzustand von

\hat{x}

${hat{x}}$ mit einem eindeutigen Maß (dem Eigenwert). Der Eigenzustand von

\hat{x}

${hat{x}}$ muss kein Eigenzustand eines anderen Operators sein

\hat{P} .

${hat{p}}$ Wenn dies der Fall ist, gibt es kein eindeutiges Maß für die beobachtbaren Daten

P,

$P,$ was bedeutet, dass der Zustand nur als Linearkombination von impulsbasierten Eigenzuständen geschrieben werden kann. (Wenn zwei Operatoren kommutieren, haben sie eine simultane Menge von Eigenzuständen gemeinsam (auch Entartung) und die beiden beobachtbaren Daten können gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit gemessen werden. Das ist bei der klassischen Mechanik immer der Fall.)

Dies ist die Quelle des Unsicherheitsprinzips. Es liegt nicht an den Beschränkungen unserer Instrumente, dass wir die Position und den Impuls eines Teilchens nicht mit beliebiger Genauigkeit messen können. Es ist vielmehr eine grundlegende Eigenschaft der Teilchen selbst.